Probabilidade Básica: Espaço Amostral, Eventos e Exemplos com Dados, Moedas e Cartas

A probabilidade dá um número para o quanto algo é provável. Ela vai de 0 (não pode acontecer) a 1 (sempre acontece) e se escreve como fração, decimal ou porcentagem. Uma moeda honesta cai em cara com probabilidade $latex \frac{1}{2}$, 0,5 ou 50%, e as três formas dizem a mesma coisa.

Aqui as ideias vêm em ordem: espaço amostral, eventos, a fórmula básica, o evento complementar, a regra da soma e os eventos independentes, com dados, moedas e cartas. Duas ferramentas interativas deixam você contar resultados numa grade e ver as tentativas aleatórias se aproximarem do valor teórico.

Experimentos, resultados e espaço amostral

Um experimento aleatório é um processo cujo resultado não pode ser previsto com certeza, embora todos os resultados possíveis sejam conhecidos. Cada resultado possível é um resultado (ou caso). O conjunto de todos eles é o espaço amostral, escrito $latex S$.

  • Uma moeda: $latex S=\{Ca,Co\}$ (cara e coroa), 2 resultados.
  • Um dado: $latex S=\{1,2,3,4,5,6\}$, 6 resultados.
  • Duas moedas: $latex S=\{CaCa,CaCo,CoCa,CoCo\}$, 4 resultados.
  • Dois dados: 36 pares ordenados, de $latex (1,1)$ a $latex (6,6)$.
  • Um baralho: 52 cartas, 4 naipes (copas e ouros são vermelhos, paus e espadas são pretos) com 13 valores cada (A, 2 a 10, J, Q, K). Valete, dama e rei são as 12 figuras.

Contar bem o espaço amostral é metade de qualquer problema de probabilidade. Se os dados são distinguíveis, $latex (2,5)$ e $latex (5,2)$ são resultados diferentes.

Eventos e a fórmula básica

Um evento é um conjunto de resultados que nos interessa. "O dado mostra um número par" é o evento $latex A=\{2,4,6\}$. Quando todos os resultados são igualmente prováveis:

$latex P(A)=\frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}=\frac{n(A)}{n(S)}$

  • $latex 0 \le P(A) \le 1$ sempre. Um evento impossível tem probabilidade 0 e um evento certo tem probabilidade 1.
  • As probabilidades de todos os resultados do experimento somam 1.

Para o número par em um dado, $latex P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

A expressão "igualmente prováveis" importa. Com dois dados, a soma 7 é bem mais provável que a soma 2, porque o 7 sai de seis maneiras e o 2 de uma só. Por isso os problemas de probabilidade contam resultados (pares), e não somas.

Veja o espaço amostral de dois dados

Cada célula é um resultado e mostra a soma. Escolha um evento e conte as células marcadas: a probabilidade é essa contagem dividida por 36. Marque a caixa abaixo para ver o complemento.

Espaço amostral de dois dados

Cada célula é um resultado. Escolha um evento e conte as células marcadas.

Os 36 resultados de lançar dois dados

O evento complementar: "não A"

O complementar de um evento $latex A$ é todo resultado que não está em $latex A$. Como um resultado está em $latex A$ ou não está, as duas probabilidades somam 1:

$latex P(A') = 1 - P(A)$

Isso poupa trabalho em perguntas de "pelo menos um", porque "nenhum" é um caso só. A probabilidade de pelo menos uma cara em 3 lançamentos é 1 menos a de só coroas: $latex 1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$.

A regra da soma: "A ou B"

$latex P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ e } B)$

Subtrair a interseção evita contar duas vezes os resultados que estão nos dois eventos. Se os eventos são mutuamente exclusivos (não podem acontecer juntos), a interseção vale 0 e basta somar.

Eventos independentes: "A e B"

Dois eventos são independentes quando um não muda a probabilidade do outro. Então:

$latex P(A \text{ e } B) = P(A)\cdot P(B)$

Uma moeda e um dado não se afetam, então a probabilidade de cara e um 5 é $latex \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{12}$. Um diagrama de árvore mostra a mesma multiplicação em cada caminho, aqui para dois lançamentos de moeda:

Diagrama de árvore para dois lançamentos de moeda1/21/2CaCa: 1/2 × 1/2 = 1/41/2CaCo: 1/2 × 1/2 = 1/4Ca1/21/2CoCa: 1/2 × 1/2 = 1/41/2CoCo: 1/2 × 1/2 = 1/4Co1º lançamento2º lançamento

Os eventos são dependentes quando o primeiro muda o segundo. Tirar cartas sem devolver é o caso clássico: com um ás fora, sobram 51 cartas e 3 ases, então $latex P(\text{segundo ás}\mid\text{primeiro ás})=\frac{3}{51}$.

Veja a frequência se aproximar da probabilidade

A frequência relativa é o número de sucessos dividido pelo número de tentativas. Com poucas tentativas ela pula de um lado para o outro. Com milhares, ela se aproxima da probabilidade teórica, fato chamado de lei dos grandes números. Isso não quer dizer que a próxima tentativa vá "compensar": cada lançamento começa do zero.

Simulador: a frequência se aproxima da probabilidade

Escolha um experimento, faça tentativas e veja a frequência observada se aproximar da probabilidade teórica.

Fazer tentativas

Frequência relativa acumulada comparada com a probabilidade teórica

Exemplos resolvidos

EXEMPLO 1

Um dado honesto é lançado. Calcule a probabilidade de um número maior que 4.

Os casos favoráveis são 5 e 6, então $latex P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, cerca de 33,33%.

EXEMPLO 2

Dois dados são lançados. Calcule a probabilidade de a soma ser 7 e de ser pelo menos 10.

A soma 7 sai com (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1): 6 de 36, então $latex P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

Soma de pelo menos 10 é 10 (3 maneiras), 11 (2 maneiras) ou 12 (1 maneira): 6 de 36, ou seja, $latex P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ também.

EXEMPLO 3

Um dado é lançado 4 vezes. Calcule a probabilidade de sair pelo menos um 6.

Use o complementar. A probabilidade de não sair 6 em um lançamento é $latex \frac{5}{6}$ e os lançamentos são independentes, então $latex P(\text{nenhum 6})=\left(\frac{5}{6}\right)^4=\frac{625}{1296}$.

$latex P(\text{pelo menos um 6})=1-\frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}\approx 0{,}5177$, cerca de 51,8%.

EXEMPLO 4

Uma carta é tirada de um baralho comum. Calcule a probabilidade de ser copas ou um rei.

Há 13 copas e 4 reis, e o rei de copas está nos dois grupos: $latex P=\frac{13}{52}+\frac{4}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$, cerca de 30,77%.

EXEMPLO 5

Duas cartas são tiradas de um baralho. Calcule a probabilidade de as duas serem ases, (a) devolvendo a primeira carta, (b) sem devolvê-la.

(a) Independentes: $latex \frac{4}{52}\cdot\frac{4}{52}=\frac{1}{169}\approx 0{,}00592$.

(b) Dependentes: $latex \frac{4}{52}\cdot\frac{3}{51}=\frac{1}{221}\approx 0{,}00452$. Sem devolver, a probabilidade é menor.

Erros comuns

  • Supor que os resultados são igualmente prováveis quando não são. Com duas moedas, "0, 1 ou 2 caras" não são três casos iguais: uma cara ocorre em 2 dos 4 resultados.
  • Contar somas em vez de pares. A soma 7 são seis resultados de 36, e não um resultado de 11.
  • Somar quando deveria multiplicar. "A e B" independentes se multiplica. "A ou B" se soma, menos a interseção.
  • Ignorar a interseção no "ou". Copas ou rei são 16 cartas, e não 17.
  • Esquecer que tirar sem devolver muda as probabilidades. Atualize numerador e denominador depois de cada retirada.
  • Acreditar em resultados que "estão devendo". Depois de cinco caras seguidas, o próximo lançamento continua com 50% de cara.

Exercícios resolvidos

EXERCÍCIO 1

Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de sair um número primo?

Solução

Os primos de um dado são 2, 3 e 5, então $latex P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

EXERCÍCIO 2

Duas moedas são lançadas. Qual é a probabilidade de sair exatamente uma cara?

Solução

Os resultados com uma cara são CaCo e CoCa, 2 de 4: $latex P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

EXERCÍCIO 3

Uma carta é tirada de um baralho comum. Qual é a probabilidade de ser uma figura vermelha?

Solução

As figuras são valete, dama e rei de cada naipe. Os naipes vermelhos têm 3 cada: 6 cartas. $latex P=\frac{6}{52}=\frac{3}{26}\approx 0{,}1154$.

EXERCÍCIO 4

Dois dados são lançados. Qual é a probabilidade de a soma ser 9?

Solução

Os pares são (3,6), (4,5), (5,4), (6,3): 4 de 36. $latex P=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.

EXERCÍCIO 5

Um dado é lançado duas vezes. Qual é a probabilidade de sair pelo menos um 6?

Solução

Complementar: nenhum 6 em dois lançamentos é $latex \frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$. Então $latex P=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\approx 0{,}3056$.

EXERCÍCIO 6

Uma sacola tem 5 bolinhas vermelhas e 3 azuis. Duas bolinhas são retiradas sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas serem azuis?

Solução

$latex P=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}\approx 0{,}1071$.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre probabilidade e chances (odds)?

A probabilidade compara os sucessos com todos os casos. As chances comparam os sucessos com os fracassos. Para um seis em um dado, a probabilidade é 1 em 6 e as chances são de 1 para 5.

Uma probabilidade pode ser maior que 1 ou negativa?

Não. Se der isso, alguma contagem está errada. Revise o espaço amostral e os casos favoráveis.

Depois de cinco caras seguidas, a coroa é mais provável?

Não. Os lançamentos são independentes, então cada um tem 50% de cara. O simulador acima mostra que a frequência se aproxima por diluição, e não por compensação.

Como transformo uma probabilidade em porcentagem?

Multiplique por 100. Por exemplo, $latex \frac{1}{6}\approx 0{,}1667$ é cerca de 16,67%.

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