Uma lista de 40 notas é difícil de ler. Uma tabela de frequência agrupa os dados em intervalos e conta quantos caem em cada um, e um histograma transforma essas contagens em barras. Em segundos você enxerga onde a maioria se concentra, o quanto os dados estão espalhados e se algo parece estranho.
Aqui você aprende a construir as duas coisas a partir de dados brutos, a escolher a largura da classe e a interpretar o resultado. O histograma interativo deixa você mudar a largura e os dados para ver a figura se refazer.
O que tem em uma tabela de frequência
- Classe (intervalo): uma faixa de valores, como 70 a 79,99.
- Frequência (f): quantos dados caem na classe.
- Frequência relativa: $latex f/n$, a fração de todos os dados que está na classe. Multiplique por 100 para obter a porcentagem.
- Frequência acumulada: o total corrido das frequências, que diz quantos dados há até o limite superior de cada classe.
- Largura da classe: o limite superior menos o limite inferior de uma classe.
As classes não podem se sobrepor e devem cobrir todos os dados. Uma convenção comum é incluir o limite inferior e excluir o superior, o que se escreve $latex [70,80)$. Assim o 70 pertence a $latex [70,80)$ e o 80 à classe seguinte.
Como construir passo a passo
- Calcule a amplitude total: o maior dado menos o menor.
- Escolha o número de classes $latex k$. Um guia comum é a regra de Sturges, $latex k\approx 1+\log_2 n$, ou a raiz quadrada de $latex n$. Entre 5 e 12 classes serve para a maioria dos dados de sala de aula.
- Divida a amplitude por $latex k$ e arredonde para cima para um número confortável. Essa é a largura da classe.
- Comece em um número redondo igual ou menor que o mínimo e escreva os intervalos. Garanta que o máximo caiba na última classe.
- Marque os dados com tracinhos e conte para obter cada frequência.
- Acrescente as frequências relativa e acumulada. Confira se as frequências somam $latex n$.
Pegue 20 notas de um teste: 55; 62; 64; 67; 68; 70; 71; 73; 74; 75; 76; 78; 79; 81; 83; 84; 86; 88; 92; 95. A menor é 55 e a maior é 95, então a amplitude é 40. Sturges dá $latex 1+\log_2 20\approx 5{,}3$, ou seja, umas 5 classes, e $latex 40/5=8$ arredonda para uma largura de 10. Começando em 50:
| Classe | Contagem | Frequência | Frequência relativa | Porcentagem | Acumulada |
|---|---|---|---|---|---|
| [50; 60) | | | 1 | 0,05 | 5% | 1 |
| [60; 70) | |||| | 4 | 0,20 | 20% | 5 |
| [70; 80) | ||||| ||| | 8 | 0,40 | 40% | 13 |
| [80; 90) | ||||| | 5 | 0,25 | 25% | 18 |
| [90; 100) | || | 2 | 0,10 | 10% | 20 |
As frequências somam 20, e a coluna acumulada também termina em 20, que é a conferência.
Histograma ou gráfico de barras?
Um histograma parece um gráfico de barras, mas não é a mesma coisa. O gráfico de barras compara categorias separadas (fruta favorita, cidade), então suas barras têm espaço entre si e podem ficar em qualquer ordem. O histograma mostra como dados numéricos se distribuem ao longo de uma reta, então suas barras se encostam, seguem a ordem dos valores e a largura de cada barra é a largura da classe.
Com larguras de classe iguais, a altura da barra é proporcional à frequência. Se um dia você usar larguras diferentes, represente a densidade $latex f/\text{largura}$, para que a área da barra, e não a altura, represente a contagem.
Construa um histograma e mude a largura da classe
Os dados iniciais são 40 notas de uma prova. Mova o controle da largura e veja as barras e a tabela se refazerem. Com largura 1 você só vê ruído, com largura 46 tudo vira uma barra só, e com larguras perto de 8 ou 10 a história aparece. Cole seus próprios números na caixa ou mude para frequência relativa e veja porcentagens.
Construa um histograma: mude a largura da classe
As barras e a tabela se refazem quando você move o controle ou edita os dados. Cada classe inclui o limite inferior e deixa de fora o superior.
Como interpretar um histograma
- Centro: onde estão as barras mais altas. A classe mais alta é a classe modal.
- Dispersão: o quanto as barras se estendem da esquerda para a direita.
- Forma: simétrica, assimétrica ou com vários picos (veja abaixo).
- Buracos e barras isoladas: possíveis valores discrepantes ou dois grupos misturados.
Em um histograma assimétrico à direita a cauda longa aponta para a direita, como em rendas ou tempos de espera, e a média costuma ser maior que a mediana. Em um assimétrico à esquerda a cauda aponta para a esquerda. Dois picos costumam indicar dois grupos misturados em um mesmo conjunto de dados, como as alturas de adultos dos dois sexos.
Como escolher a largura da classe
Com classes de menos, a forma some. Com classes demais, o histograma fica serrilhado, porque cada barra tem só um ou dois dados. Não existe uma única resposta certa: comece com Sturges ou com a raiz quadrada e ajuste. Para as 40 notas acima, Sturges sugere $latex \lceil 1+\log_2 40\rceil = 7$ classes, uma largura perto de 6,6, e uma largura de 10 dá uma imagem mais limpa com 5 classes. Use a Calculadora de média, mediana e moda para obter antes a amplitude e o centro dos seus dados.
Exemplos resolvidos
EXEMPLO 1
Com as 20 notas da tabela, que porcentagem tirou 80 ou mais?
As classes $latex [80,90)$ e $latex [90,100)$ têm 5 e 2 dados, então $latex \frac{5+2}{20}=\frac{7}{20}=0{,}35$, ou seja, 35%.
EXEMPLO 2
Quantas notas foram menores que 70?
Leia a coluna acumulada na classe $latex [60,70)$: 5 notas, que são 25% dos dados.
EXEMPLO 3
Qual classe contém a mediana e qual é a classe modal?
Com 20 dados, a mediana fica entre o 10º e o 11º. A frequência acumulada chega a 5 em $latex [60,70)$ e a 13 em $latex [70,80)$, então a mediana está em $latex [70,80)$. Essa classe também tem a maior frequência (8), então é a classe modal.
EXEMPLO 4
Estime a média a partir da tabela.
Use o ponto médio de cada classe (55, 65, 75, 85, 95) como valor representativo: $latex \bar{x}\approx\frac{55(1)+65(4)+75(8)+85(5)+95(2)}{20}=\frac{1530}{20}=76{,}5$.
A média exata dos dados originais é 76,05. A estimativa agrupada chega perto, e a pequena diferença é o preço de agrupar.
Erros comuns
- Classes que se sobrepõem. Escrever 60 a 70 e 70 a 80 coloca o 70 em duas classes. Decida qual extremo é incluído.
- Deixar espaços entre as barras. As barras de um histograma se encostam, porque os dados são contínuos ao longo do eixo.
- Larguras de classe diferentes sem ajuste. Barras largas e altas enganam. Use a densidade ou mantenha as larguras iguais.
- Deixar o máximo de fora. Se a última classe termina abaixo do maior dado, as frequências não somam $latex n$.
- Começar o eixo vertical acima de zero. As barras precisam partir de 0 para que as alturas sejam comparadas com honestidade.
- Tomar a forma como verdade absoluta. Larguras e pontos de partida diferentes mudam a imagem, então confira mais de um.
Exercícios resolvidos
EXERCÍCIO 1
Os dados vão de 12 a 87 e você quer 6 classes. Encontre uma largura de classe confortável e escreva os limites.
Solução
A amplitude é $latex 87-12=75$ e $latex 75/6=12{,}5$. Arredonde para uma largura confortável, como 15. Começando em 10: $latex [10,25)$, $latex [25,40)$, $latex [40,55)$, $latex [55,70)$, $latex [70,85)$, $latex [85,100)$. Essas seis classes cobrem de 12 a 87.
EXERCÍCIO 2
Construa uma tabela de frequência para 3; 5; 6; 6; 7; 8; 8; 8; 9; 10; 11; 12; 12; 13; 15 com classes de largura 4 começando em 2.
Solução
$latex [2,6)$: 3, 5, ou seja, 2. $latex [6,10)$: 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, ou seja, 7. $latex [10,14)$: 10, 11, 12, 12, 13, ou seja, 5. $latex [14,18)$: 15, ou seja, 1. O total é 15.
EXERCÍCIO 3
Com as classes $latex [30,40)$ e $latex [40,50)$, em qual classe entra o valor 40?
Solução
Em $latex [40,50)$, porque cada classe inclui o limite inferior e exclui o superior.
EXERCÍCIO 4
Uma tabela de 40 dados tem frequências 4, 9, 15, 8, 4. Calcule as frequências relativas e acumuladas e a porcentagem de dados até o fim da terceira classe.
Solução
Relativas: $latex 0{,}10;\; 0{,}225;\; 0{,}375;\; 0{,}20;\; 0{,}10$, ou seja, 10%, 22,5%, 37,5%, 20%, 10%. Acumuladas: 4, 13, 28, 36, 40.
Até a terceira classe há 28 de 40 dados: $latex 28/40=0{,}70$, ou seja, 70%.
EXERCÍCIO 5
Um histograma tem frequências 20, 14, 8, 5, 3, 1 da esquerda para a direita. Descreva a forma.
Solução
A barra mais alta está à esquerda e as barras diminuem devagar para a direita, então ele é assimétrico à direita. A média será maior que a mediana.
EXERCÍCIO 6
Estime a média com as classes $latex [0,10)$, $latex [10,20)$, $latex [20,30)$ e frequências 5, 10, 5.
Solução
Pontos médios 5, 15, 25: $latex \bar{x}\approx\frac{5(5)+15(10)+25(5)}{20}=\frac{300}{20}=15$.
Perguntas frequentes
Quantas classes um histograma deve ter?
Entre 5 e 12 para dados de sala de aula. Parta da regra de Sturges ou da raiz quadrada de n e ajuste até a forma ficar clara sem ruído demais.
Qual é a diferença entre histograma e gráfico de barras?
O gráfico de barras compara categorias, então as barras ficam separadas e podem ser reordenadas. O histograma mostra dados numéricos em intervalos ordenados, então as barras se encostam.
As classes podem ter larguras diferentes?
Podem, mas então a área de cada barra, e não a altura, deve representar a frequência. Para quem está começando, larguras iguais são mais simples e seguras.
Por que meu histograma mudou quando mudei a largura?
Porque agrupar esconde detalhes. As duas imagens estão corretas, mas destacam coisas diferentes. Teste algumas larguras antes de concluir qualquer coisa.
Calculadoras relacionadas
- Calculadora de média, mediana e moda
- Calculadora de desvio padrão
- Calculadora de porcentagem
- Simulador de probabilidade com dados e moedas
Mais ferramentas estão na lista de calculadoras.