A média mostra onde está o centro dos dados, mas não diz o quanto eles estão espalhados. Duas turmas podem ter média 80 e ser bem diferentes: numa todo mundo tirou entre 70 e 90, e na outra as notas vão de 60 a 100. A variância e o desvio padrão medem essa dispersão com um único número.
Aqui você vê como calcular os dois passo a passo, por que as distâncias são elevadas ao quadrado, o que o $latex n-1$ faz na versão para amostras e como interpretar o resultado. A figura interativa desenha os quadrados por trás da fórmula, para você ver o que está sendo calculado em média.
Por que a média não basta
A turma A tirou 70, 75, 80, 85, 90. A turma B tirou 60, 70, 80, 90, 100. As duas médias são 80, mas B está claramente mais espalhada. Os desvios padrão dizem isso com números: 7,07 para A e 14,14 para B.
Desvios, variância e desvio padrão
O desvio de um valor é a sua distância até a média, $latex x-\bar{x}$. Não dá para tirar a média dos desvios diretamente, porque eles sempre somam 0: os positivos cancelam os negativos. Elevar cada desvio ao quadrado resolve os sinais e dá mais peso aos valores distantes.
- A variância é a média dos desvios ao quadrado.
- O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Ele volta para a unidade dos dados (pontos, centímetros, reais), enquanto a variância fica em unidades ao quadrado.
Para uma população (todos os valores do grupo), com média $latex \mu$ e $latex N$ valores:
$latex \sigma^2=\frac{\sum (x-\mu)^2}{N} \qquad \sigma=\sqrt{\sigma^2}$
Para uma amostra (alguns valores tirados de um grupo maior), com média $latex \bar{x}$ e $latex n$ valores:
$latex s^2=\frac{\sum (x-\bar{x})^2}{n-1} \qquad s=\sqrt{s^2}$
Veja os quadrados
Cada quadrado azul tem como lado a distância de um valor até a média, então sua área é esse desvio ao quadrado. O quadrado laranja tracejado é o "quadrado médio": sua área é a variância e, portanto, seu lado é o desvio padrão. Arraste um ponto para longe dos outros e veja o quadrado laranja crescer. Mude para $latex n-1$ para ver a versão amostral.
Veja os quadrados por trás do desvio padrão
Arraste um ponto ou digite seus próprios números. Cada quadrado azul tem como lado uma distância até a média, então sua área é essa distância ao quadrado.
Passo a passo
- Calcule a média: some os valores e divida pela quantidade.
- Subtraia a média de cada valor para obter os desvios.
- Eleve cada desvio ao quadrado.
- Some os quadrados. É a soma dos quadrados.
- Divida por $latex N$ (população) ou por $latex n-1$ (amostra). É a variância.
- Tire a raiz quadrada. É o desvio padrão.
Veja o processo completo para a população 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9. A média é $latex \mu=\frac{40}{8}=5$.
| x | x − 5 | (x − 5)² |
|---|---|---|
| 2 | -3 | 9 |
| 4 | -1 | 1 |
| 4 | -1 | 1 |
| 4 | -1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Total | 0 | 32 |
A soma dos quadrados é $latex 32$. Dividindo por $latex N=8$: $latex \sigma^2=\frac{32}{8}=4$. Depois $latex \sigma=\sqrt{4}=2$.
População ou amostra: N ou n − 1?
Use $latex N$ quando os dados são todos os que interessam, como os 30 alunos de uma sala. Use $latex n-1$ quando os dados são uma amostra usada para estimar um grupo maior, como 30 eleitores escolhidos em uma cidade inteira.
O motivo do $latex n-1$ é que a média amostral é calculada com os mesmos dados, então fica mais perto deles do que a média verdadeira ficaria. Os desvios medidos a partir de $latex \bar{x}$ saem um pouco pequenos em média, e dividir por um número um pouco menor corrige isso. Outro jeito de ver: fixada a média, só $latex n-1$ desvios podem variar livremente, porque o último precisa fazer a soma dar 0.
Com amostras grandes a diferença some. Para $latex n=100$ os dois desvios padrão diferem cerca de 0,5%. As calculadoras costumam mostrar os dois, como σ e s. A Calculadora de desvio padrão mostra ambos, e a Calculadora de média, mediana e moda dá a média e a amplitude.
Uma fórmula curta
Desenvolvendo o quadrado, aparece uma versão que pula os desvios:
$latex \sigma^2=\frac{\sum x^2}{N}-\mu^2$
Para 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9: $latex \sum x^2=232$, então $latex \sigma^2=\frac{232}{8}-5^2=29-25=4$. Mesmo resultado. Ela ajuda em provas, mas subtrai dois números grandes e parecidos, então mantenha todas as casas decimais para evitar erros de arredondamento.
Como interpretar o desvio padrão
- Ele usa a mesma unidade dos dados. Um desvio padrão de 10 pontos quer dizer que uma nota típica fica a uns 10 pontos da média.
- Um valor maior significa mais dispersão. Ele vale 0 só quando todos os valores são iguais e nunca pode ser negativo.
- Somar o mesmo número a todos os valores não o altera. Multiplicar todos os valores por $latex k$ o multiplica por $latex |k|$.
- Valores discrepantes pesam muito, porque sua distância é elevada ao quadrado. Em dados em forma de sino, cerca de 68% dos valores ficam a um desvio padrão da média e cerca de 95% a dois.
Exemplos resolvidos
EXEMPLO 1
Os dados 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 são uma amostra. Calcule a variância e o desvio padrão amostrais.
A média é 5 e a soma dos quadrados é 32 (veja a tabela acima). Com $latex n=8$: $latex s^2=\frac{32}{7}=4{,}571$.
$latex s=\sqrt{4{,}571}=2{,}138$. O desvio padrão amostral é 2,138, um pouco maior que o valor populacional 2.
EXEMPLO 2
Calcule o desvio padrão populacional de 6; 8; 10; 12; 14.
Média: $latex \frac{50}{5}=10$. Desvios: $latex -4,-2,0,2,4$. Quadrados: $latex 16,4,0,4,16$, que somam 40.
$latex \sigma^2=\frac{40}{5}=8$ e $latex \sigma=\sqrt{8}=2{,}828$. Se fosse uma amostra, $latex s^2=\frac{40}{4}=10$ e $latex s=3{,}162$.
EXEMPLO 3
Compare a turma A (70; 75; 80; 85; 90) com a turma B (60; 70; 80; 90; 100). As duas médias são 80.
Turma A: os desvios ao quadrado $latex 100,25,0,25,100$ somam 250, então $latex \sigma^2=50$ e $latex \sigma=7{,}07$.
Turma B: os desvios ao quadrado $latex 400,100,0,100,400$ somam 1000, então $latex \sigma^2=200$ e $latex \sigma=14{,}14$.
A turma B tem exatamente o dobro do desvio padrão: suas notas são duas vezes mais espalhadas.
EXEMPLO 4
Quanto um valor discrepante muda o resultado? Compare 10; 12; 11; 13; 12 com 10; 12; 11; 13; 40.
O primeiro conjunto tem média 11,6 e $latex \sigma=1{,}02$.
Trocando um valor por 40, a média passa a 17,2 e o desvio padrão a $latex \sigma=11{,}44$, cerca de 11 vezes maior. Um único valor extremo domina a soma dos quadrados.
Erros comuns
- Dividir pelo número errado. População: $latex N$. Amostra: $latex n-1$. Veja qual o problema pede.
- Somar os desvios sem elevar ao quadrado. Eles sempre somam 0.
- Esquecer a raiz quadrada. A variância está em unidades ao quadrado. O desvio padrão é a raiz.
- Arredondar a média cedo demais. Use a média exata ao subtrair.
- Elevar a soma ao quadrado em vez de somar os quadrados. $latex (\sum x)^2$ não é $latex \sum x^2$.
- Esperar um resultado negativo. Variância ou desvio padrão negativo indica erro.
Exercícios resolvidos
EXERCÍCIO 1
Calcule a variância e o desvio padrão populacionais de 12; 15; 18; 21; 24.
Solução
A média é 18. Desvios: $latex -6,-3,0,3,6$. Quadrados: $latex 36,9,0,9,36$, soma 90.
$latex \sigma^2=\frac{90}{5}=18$ e $latex \sigma=\sqrt{18}\approx 4{,}243$.
EXERCÍCIO 2
Calcule o desvio padrão amostral de 4; 8; 6; 5; 3; 4.
Solução
A média é 5. Desvios: $latex -1,3,1,0,-2,-1$. Quadrados: $latex 1,9,1,0,4,1$, soma 16.
$latex s^2=\frac{16}{5}=3{,}2$ e $latex s=\sqrt{3{,}2}\approx 1{,}789$.
EXERCÍCIO 3
Uma soma de desvios ao quadrado é 108 para 10 valores. Calcule a variância se os dados são (a) uma população, (b) uma amostra.
Solução
(a) $latex 108/10=10{,}8$. (b) $latex 108/9=12$.
EXERCÍCIO 4
Sem calcular, qual tem maior desvio padrão: 20; 22; 24; 26; 28 ou 20; 21; 22; 23; 24? Depois confira.
Solução
O primeiro conjunto é duas vezes mais espalhado (passos de 2 em vez de 1). Conferindo: $latex \sigma=2{,}83$ contra $latex \sigma=1{,}41$.
EXERCÍCIO 5
Use a fórmula curta para 1; 2; 3; 4; 5 (população).
Solução
$latex \sum x^2=55$, $latex \mu=3$. $latex \sigma^2=\frac{55}{5}-3^2=11-9=2$, então $latex \sigma=\sqrt{2}\approx 1{,}414$.
EXERCÍCIO 6
Os dados 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 têm desvio padrão 2. O que acontece com ele se você (a) somar 10 a cada valor, (b) multiplicar cada valor por 3?
Solução
(a) Nada: continua em 2, pois todas as distâncias até a média ficam iguais. (b) Ele triplica para 6, e a variância vira 36.
Perguntas frequentes
Por que elevar os desvios ao quadrado e não usar valores absolutos?
Os valores absolutos também dão uma medida válida (o desvio médio absoluto). Usam-se quadrados porque funcionam bem em álgebra e cálculo e estão na base de muitas outras fórmulas de estatística.
O desvio padrão pode ser 0?
Pode, quando todos os valores são iguais. Aí não há dispersão nenhuma.
Um desvio padrão grande é ruim?
Depende do contexto. Ele só indica que os dados estão espalhados. Um desvio de 15 minutos é grande para o horário de um trem e minúsculo para uma maratona.
Na prova, uso N ou n − 1?
Leia o enunciado. Se os dados são o grupo todo, divida por N. Se são uma amostra para estimar um grupo maior, divida por n − 1. Quando o problema não diz, muitos livros tratam uma lista de dados como amostra.
Calculadoras relacionadas
- Calculadora de desvio padrão
- Calculadora de média, mediana e moda
- Calculadora de média ponderada
- Calculadora de porcentagem
Mais ferramentas estão na lista de calculadoras.