O valor absoluto de um número é a distância de 0 até aquele número na reta numérica. O valor absoluto está relacionado à medida das distâncias ou diferenças nos casos em que a direção não é importante.
Neste artigo, vamos olhar para uma definição mais detalhada do valor absoluto, aprender sobre suas propriedades, e aprender sobre algumas de suas aplicações na vida real.
Qual é o valor absoluto?
O valor absoluto se refere à distância de um ponto de zero ou origem na reta numérica, independentemente da direção. O valor absoluto é sempre positivo.
O valor absoluto é denotado por duas linhas verticais que circundam o número ou a expressão. Por exemplo, o valor absoluto do número 3 é escrito |3|. Isso significa que a distância de 0 é 3.
Da mesma forma, o valor absoluto de 3 negativo é escrito |-3|. Isso também significa que a distância de 0 é 3.
Considere a expressão |x|>3. Para representar isso na reta numérica, precisamos de todos os números que têm um valor absoluto maior que 3. Isso pode ser representado graficamente colocando um ponto aberto na reta numérica.
Agora vamos considerar a expressão |x|≤3. Esta expressão inclui todos os valores absolutos que são iguais ou menores que 3. Podemos representar graficamente esta expressão colocando um ponto fechado na reta numérica.
Uma maneira fácil de representar o valor absoluto com desigualdades é a seguinte:
- Para |x|<3, podemos escrever -3<x<-3.
- Para |x| = 5, podemos escrever x=5 ou x=-5.
- Para |x+2|>3, podemos escrever 3>x+2>-3.
Propriedades de valor absoluto
O valor absoluto tem as seguintes propriedades fundamentais:
1. Não negatividade |x| ≥ 0.
2. Multiplicatividade |xy| = |x| |y|.
3. Subaditividade |x+y| ≤ |x|+|y|.
4. Idempotência ||x|| = |x|.
5. Simetria |-x| = |x|.
6. Identidade do discernível |x–y| = 0, ⇔ x = y.
7. Triângulo da desigualdade |x-y| ≤ |x-z| + |z-y|.
8. Preservação da divisão |x/y| = |x|/|y|, se y ≠ 0.
Quais são as aplicações do valor absoluto?
Há várias aplicações de valor absoluto em matemática e outras áreas. Algumas das aplicações mais comuns são:
1. Medição da distância
A medição da distância é uma das aplicações mais comuns de valor absoluto. A distância é o valor absoluto da diferença de posição entre dois pontos.
Então, dados dois pontos A e B, a distância entre eles é |A-B| o que é equivalente a |B-A|. A distância não depende da direção. Em geral, o valor absoluto é utilizado quando a direção não é importante.
2. Equações e desigualdades com valor absoluto
O valor absoluto é utilizado para resolver equações e desigualdades que envolvem a distância entre dois valores. Por exemplo, a equação |x-3| = 5 tem as soluções x = -2 e x = 8.
3. Módulo de números complexos
O valor absoluto de um número complexo é também conhecido como o seu módulo. É utilizado para encontrar a distância entre o número complexo e a origem no plano complexo.
4. Análise de dados
O valor absoluto é utilizado em estatísticas e análise de dados para encontrar a diferença entre dois valores, tais como a diferença entre a média e um ponto de dados.
5. Física e engenharia
O valor absoluto é utilizado em física e engenharia para encontrar a magnitude de quantidades físicas, tais como velocidade, aceleração e força.
6. Desvios à norma
Uma função de valor absoluto pode ser usada para mostrar o quanto um valor se afasta da norma. Por exemplo, a temperatura interna média dos seres humanos é de 37° C. A temperatura pode variar em 0,5° C e ainda ser considerada normal.
Como função, podemos ter a equação y=|x-37|. Se fossemos fazer um gráfico desta função, o eixo x representaria a temperatura real e o eixo y representaria o desvio da temperatura em relação à temperatura média.
7. Levantamentos bancários, cartões de crédito e a natureza do dinheiro
Mesmo que haja um saldo negativo em qualquer conta de débito ou poupança quando o dinheiro é devido ao banco, nunca poderá levantar uma quantia negativa nos balcões dos bancos ou nos caixas automáticos.
O sinal negativo no seu saldo apenas indica que tem a obrigação de reembolsar o banco que, uma vez pago, só voltará a zero (se pago exatamente) ou a um montante positivo (se pago ou depositado mais do que o saldo negativo).
O mesmo se pode dizer dos cartões de crédito, em que o banco lhe empresta dinheiro antecipadamente numa base regular. Isto significa que por muito negativo ou positivo que seja o seu saldo, não existe um montante negativo.
Em geral, o valor absoluto é um conceito versátil que pode ser aplicado em muitos campos diferentes para representar a distância entre dois valores, a magnitude de um número ou uma quantidade física, etc.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
