As desigualdades com valor absoluto seguem as mesmas regras que o valor absoluto em números; a diferença é que nas desigualdades temos uma variável. Neste artigo, veremos uma breve introdução às desigualdades com valor absoluto e aprenderemos um método para resolver as desigualdades com valor absoluto. Finalmente, veremos alguns exemplos com respostas para melhorar a compreensão dos conceitos.
O que são desigualdades com valor absoluto?
Antes de começarmos com as desigualdades com valor absoluto, vamos lembrar qual é o valor absoluto de um número.
Vamos começar com a definição: o valor absoluto de um número é a distância de um valor da origem, independentemente da direção. O valor absoluto é denotado por duas linhas verticais que circundam o número ou expressão.
Por exemplo, o valor absoluto de x é expresso como $latex |x|= a$, o que significa que $latex x = +a$ e $latex x=-a$. Agora vamos ver o que significam as desigualdades con valor absoluto.
Uma desigualdade com valor absoluto é uma expressão algébrica com a função de valor absoluto, bem como com os sinais de valor absoluto. Por exemplo, a expressão $latex |x+5|> 2$ é uma desigualdade com valor absoluto que contém um sinal de “maior que”.
Temos quatro símbolos de desigualdade diferentes: maior que (>), menor que (<), maior ou igual a (≥) e menor ou igual a (≤).
EXEMPLOS
A seguir estão as desigualdades com valor absoluto:
- $latex \left| x+1\right|<3$
- $latex \left| x-2\right|≥5$
- $latex \left| x+5\right|>1$
Como resolver desigualdades com valor absoluto?
Os passos para resolver as desigualdades com valor absoluto são semelhantes aos passos para resolver as equações, com a diferença de que devemos levar em consideração algumas informações extras para resolver as desigualdades.
Os passos a seguir são regras gerais que podem ser seguidas para resolver desigualdades com valor absoluto:
Passo 1: Isole completamente a expressão com o valor absoluto.
Passo 2: Resolva as versões positiva e negativa das desigualdades com valor absoluto.
- Quando o número do outro lado do sinal de desigualdade é negativo, concluímos que ou todos os números reais são soluções ou que a desigualdade não tem solução.
- Quando o número do outro lado é positivo, passamos a formar uma desigualdade composta removendo as barras do valor absoluto.
Passo 3: O tipo de sinal de desigualdade determina o formato da desigualdade composta a ser formada.
- Se um problema contiver sinais de maior ou maior/igual a, forme uma desigualdade composta da seguinte maneira:
(valores dentro do sinal de valor absoluto) <– (o número do outro lado)
ou
(valores dentro do sinal de valor absoluto)> (o número do outro lado)
- Da mesma forma, se um problema contém menos ou menos/igual que sinais, ele forma uma desigualdade composta de três partes como segue:
– (o número do outro lado do sinal) <(valores dentro do sinal de valor absoluto) <(o número do outro lado do sinal)
Passo 4: Resolva as desigualdades.
Desigualdades com valor absoluto – Exemplos com resposta
EXEMPLO 1
Resolva a desigualdade $latex |x+4|-6<9$.
Passo 1: Isole o valor absoluto:
$latex |x+4|-6<9$
$latex |x+4|<9+6$
$latex |x+4|<15$
Passo 2: É o número do outro lado negativo? Não, é um número positivo, 15. Passamos para o passo 3.
Passo 3: Forme uma desigualdade composta: o sinal de desigualdade neste problema é um sinal de menor que, portanto, formamos uma desigualdade de três partes:
$latex -15<x+4<15$
Passo 4: Resolva a desigualdade:
$latex -15-4<x<15-4$
$latex -19<x<11$
EXEMPLO 2
Resolva a desigualdade $latex |2x-1|-7≥-3$.
Passo 1: Isole o valor absoluto:
$latex |2x-1|-7≥-3$
$latex |2x-1|≥-3+7$
$latex |2x-1|≥4$
Passo 2: É o número do outro lado negativo? Não, é um número positivo, 4. Passamos para a etapa 3.
Passo 3: Forme uma desigualdade composta: o sinal de desigualdade neste problema é maior/igual que o sinal, então formamos uma desigualdade composta com a palavra “ou”:
$latex 2x-1≤-4$ ou $latex 2x-1≥4$
Passo 4: Resolva as desigualdades:
$latex 2x-1≤-4$ ou $latex 2x-1≥4$
$latex 2x≤-3$ ou $latex 2x≥5$
$latex x\le -\frac{3}{2}$ ou $latex x\ge \frac{5}{2}$
EXEMPLO 3
Resolva a desigualdade $latex |5x+6|+4<1$.
Passo 1: Isole o valor absoluto:
$latex |5x+6|+4<1$
$latex |5x+6|<1-4$
$latex |5x+6|<-3$
Passo 2: É o número do outro lado negativo? Sim, é um número negativo, -3. Vamos olhar os sinais de cada lado da desigualdade para determinar a solução para o problema:
$latex |5x+6|<-3$
positivo $latex <$ negativo
Essa afirmação nunca é verdadeira, então o problema não tem solução.
EXEMPLO 4
Resolva a desigualdade $latex |3x-4|+9>5$.
Passo 1: Isole o valor absoluto:
$latex |3x-4|+9>5$
$latex |3x-4|>5-9$
$latex |3x-4|>-4$
Passo 2: É o número do outro lado negativo? Sim, é um número negativo, -4. Vejamos os sinais de cada lado da desigualdade para determinar a solução para o problema:
$latex |3x-4|>-4$
positivo $latex >$ negativo
Essa afirmação é sempre verdadeira, então a solução para o problema são todos os números reais.
Desigualdades com valor absoluto – Exercícios para resolver
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
