Séries e Notação Sigma – Exercícios Resolvidos

Podemos encontrar os termos da série utilizando o valor de r na expressão $latex r(r+1)$ começando de $latex r=1$ a $latex r=5$:

• Quando $latex r=1$, temos $latex (1)(1+1)=2$
• Quando $latex r=2$, temos $latex (2)(2+1)=6$
• Quando $latex r=3$, temos $latex (3)(3+1)=12$
• Quando $latex r=4$, temos $latex (4)(4+1)=20$
• Quando $latex r=4$, temos $latex (5)(5+1)=30$

Portanto, os termos da série são $latex 2+6+12+20+30$.

Neste caso, substituímos o valor de $latex r=1$ até $latex r=7$ na expressão $latex (\frac{(-1)^{r-1}}{r})$:

• Quando $latex r=1$, temos $latex (\frac{(-1)^{1-1}}{1})=1$
• Quando $latex r=2$, temos $latex (\frac{(-1)^{2-1}}{2})=-\frac{1}{2}$
• Quando $latex r=3$, temos $latex (\frac{(-1)^{3-1}}{3})=\frac{1}{3}$
• Quando $latex r=4$, temos $latex (\frac{(-1)^{4-1}}{4})=-\frac{1}{4}$
• Quando $latex r=5$, temos $latex (\frac{(-1)^{5-1}}{5})=\frac{1}{5}$
• Quando $latex r=6$, temos $latex (\frac{(-1)^{6-1}}{6})=-\frac{1}{6}$
• Quando $latex r=7$, temos $latex (\frac{(-1)^{7-1}}{7})=\frac{1}{7}$

Então os termos da série são

$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$$

Esta é uma série escrita como $latex S_{4}$, que é a soma dos primeiros quatro termos. Usando notação sigma, temos:

$$S_{4}=\sum_{r=1}^{4}(-1)^r~3^{r+1}$$

$$=(-1)3^2+(-1)^23^3+(-1)^33^4+(-1)^43^5$$

$latex =-3^2+3^3-3^4+3^5$

$latex S_{4}=180$

A soma dos primeiros quatro termos é igual a 180.

Esta série pode ser formada utilizando a expressão $latex \frac{1}{r}$, onde r incrementa por 1 em cada período consecutivo.

Além disso, podemos observar que a série começa em $latex r=3$ e termina em $latex r=20$. Portanto, escrevemo-la como se segue:

$$\sum_{r=3}^{20}\frac{1}{r}$$

Podemos não conseguir identificar o padrão da série à primeira vista. No entanto, podemos considerar uma série em que os seus termos são definidos por $latex u_{r}=r^2$:

$latex 1+4+9+16+25$

Comparando esta série com a série dada, observamos que se subtrairmos 2 de cada termo da série definida, obtemos a série necessária. Então, temos a expressão $latex u_{r}=r^2-2$.

Usando a notação sigma, temos:

$$\sum_{r=1}^{5}(r^2-2)$$

Esta é uma série infinita, uma vez que é indicado que a série contínua indefinidamente.

Se ignorarmos o sinal negativo, vemos que cada termo aumenta em 1. Assim, o termo r da série $latex 6+7+8+9+…$ é dado por $latex u_{r}=r+5$.

Agora, podemos multiplicar por $latex (-1)^{r-1}$, uma vez que esta expressão nos dá o sinal alternado. Então, temos:

$latex u_{r}=(-1)^{r-1}(r+5)$

Quando $latex (r+1)$ é par, o sinal é positivo e quando $latex (r+1)$ é ímpar, o sinal é negativo.

Portanto, em notação sigma, temos:

$$\sum_{r=1}^{\infty}(-1)^{r+1}(r+5)$$

Neste caso, também é possível escrever a série como se segue:

$$\sum_{r=5}^{\infty}(-1)^{r+1}(r+1)$$

À semelhança do exercício anterior, aqui também temos um sinal negativo alternado. Assim, podemos implementar isto usando a expressão $latex (-1)^{r+1}$.

Se ignorarmos o sinal negativo, vemos que os termos são formados por potências de 2, ou seja, temos $latex 2^2+2^3+2^4+…$.

Então, os termos são encontrados com a expressão $latex (2)^{r+1}$ começando de $latex r=1$ até $latex r=9$. Portanto, em notação sigma, temos:

$$\sum_{r=1}^{9}(-2){r+1}$$

Os termos desta série são formados usando a expressão $latex \frac{r}{r^2-1}$, onde r aumenta em 1 para cada termo consecutivo.

Neste caso, os limites variam de $latex r=5$ até $latex r=n$. Depois, utilizando a notação sigma, temos:

$$\sum_{r=5}^{n}\frac{r}{r^2-1}$$

Este exercício é semelhante ao anterior, pois podemos usar o último termo dado para obter a expressão de soma facilmente. Ou seja, temos $latex \frac{r}{(r+1)(r+2)}$

Além disso, observamos que a série vai de $latex r=1$ até $latex r=n$. Depois, escrevemo-la como se segue:

$$\sum_{r=1}^{n}\frac{n}{(n+1)(n+2)}$$

Primeiro, notamos que a série tem sinais negativos alternados, pelo que sabemos que vamos usar a expressão $latex (-1)^{r+1}$ para implementar isto.

Depois, vemos que cada termo é uma multiplicação de dois números. Então, encontramos uma expressão para cada parte em termos de r.

A primeira parte pode ser obtida usando $latex (2r-1)$ e a segunda parte pode ser obtida com $latex (3r+1)$.

Finalmente, observamos que a série vai de $latex r=1$ a $latex r=15$. Então, combinando tudo isto, temos:

$$\sum_{r=1}^{15}(-1)^{r+1}(2r-1)(3r+1)$$