Dependendo do padrão dos números na progressão, podemos ter vários tipos de progressões matemáticas. Entre as mais importantes encontram-se progressões convergentes e divergentes, progressões oscilantes e progressões periódicas.
A seguir, vamos aprender sobre os tipos mais importantes de progressões matemáticas. Vamos analisar as suas definições, características importantes e alguns exemplos.
Progressões convergentes
As progressões convergentes têm a característica principal de se aproximarem de um valor específico à medida que o número de termos na progressão aumenta.
Por exemplo, considere a seguinte progressão:
$$3,~2+\frac{1}{5},~2+\frac{1}{25},…,~2+\frac{1}{5^{n-1}},…$$
Os termos da progressão estão cada vez mais próximos do valor de 2. Isto pode ser observado num gráfico de $latex u_{n}$ (valor do termo n) vs $latex n$ (número do termo).
Esta é uma progressão convergente, uma vez que à medida que o número de termos aumenta, os valores dos termos tendem para um limite definido. O valor 2 é o limite da progressão.
EXEMPLOS
- A progressão $latex u_{n}=\frac{n}{n+1}$ é convergente. Podemos ver isto escrevendo os primeiros seis termos da progressão:
$$\frac{1}{2},~\frac{2}{3},~\frac{3}{4},~\frac{4}{5},~\frac{5}{6}, ~\frac{6}{7}$$
À medida que os termos da progressão aumentam, eles aproximam-se cada vez mais de 1.
- A progressão $latex u_{n}=\frac{1}{n^2+1}$ é convergente. Escrevendo os primeiros seis termos da progressão, temos:
$$\frac{1}{2},~\frac{1}{5},~\frac{1}{10},~\frac{1}{17},~\frac{1}{26}, ~\frac{1}{37}$$
À medida que os termos da progressão aumentam, o valor de cada termo torna-se cada vez menor e cada vez mais próximo de 0.
Progressões divergentes
As progressões divergentes são caracterizadas por se afastarem do valor inicial à medida que o número de termos na progressão aumenta.
Por exemplo, considere a seguinte progressão:
$$5,~9,~13,~17,…,~4n+1$$
Nesta progressão, à medida que o número de termos aumenta, os valores dos termos aumentam e tendem ao infinito. Podemos observar isto no gráfico de $latex u_{n}$ vs $latex n$.
Todas as progressões que não convergem para um limite e se afastam do valor inicial são consideradas progressões divergentes.
EXEMPLOS
- A progressão $latex u_{n}=5-2n$ é divergente. Escrevendo os primeiros seis termos da progressão, temos:
$$3,~1,~-1,~-3,~-5, ~-7$$
À medida que os termos da progressão aumentam, os valores deslocam-se para o infinito negativo e afastam-se do valor inicial.
- A progressão $latex u_{n}=(-1)^nn$ é divergente. Escrevendo os primeiros seis termos da progressão, temos:
$$-1,~2,~-3,~4,~-5, ~6$$
Os termos da progressão variam do negativo ao positivo, mas cada vez que se afastam do valor inicial e se tornam maiores (positivos e negativos).
Progressões oscilantes
As progressões oscilantes são progressões em que os valores dos termos oscilam em relação a um valor específico. As progressões oscilantes podem ser convergentes ou divergentes.
Por exemplo, considere a seguinte progressão:
$$1+\frac{1}{2},~1-\frac{1}{4},~1+\frac{1}{8},…, 1+(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^n,…$$
À medida que o número de termos aumenta, a progressão oscila em relação ao valor de 1, mas, simultaneamente, aproxima-se cada vez mais de 1:
Neste caso, a progressão é oscilante e convergente, uma vez que converge para o limite de 1.
Da mesma forma, uma progressão pode oscilar e divergir simultaneamente. Por exemplo, considere a seguinte progressão:
$$ -2.5,~5, ~-10,~20,~-40,…,~5(-2)^{n-1}, …$$
Neste caso, podemos observar que a progressão é oscilatória e não converge para nenhum valor em particular. Ou seja, a progressão é divergente.
EXEMPLOS
- A progressão $latex u_{n+1}=8-3u_{n}$, onde $latex u_{n}$ está oscilando. Escrevendo para os seis primeiros termos da progressão, temos:
$$3,~-1,~11,~-25,~83, ~-241$$
Vemos que os termos oscilam entre positivo e negativo. Além disso, os valores tornam-se cada vez maiores, pelo que a progressão é também divergente.
- A progressão $latex u_{n}=\frac{(-1){n+1}}{n^2}$ é oscilante. Escrevendo para os seis primeiros termos da progressão, temos:
$$1,~-\frac{1}{4},~\frac{1}{9},~-\frac{1}{16},~\frac{1}{25},~-\frac{1}{36}$$
Nesta progressão os termos também oscilam entre negativo e positivo. Além disso, a progressão também é convergente.
Progressões periódicas
As progressões periódicas são caracterizadas pelo facto de os valores dos seus termos serem repetidos após um certo intervalo.
Por exemplo, considere a seguinte progressão:
$$ 1, ~3,~1, ~3, …, 2+(-1)^n,…$$
À medida que o número de termos aumenta, a progressão contém simplesmente os termos 1 e 3. Neste caso, o período é 2.
EXEMPLOS
- A progressão $latex u_{n+1}=3-u_{n}$, onde $latex u_{1}=2$ é periódica. Os seis primeiros termos da progressão são:
$$2,~1,~2,~1,~2,~1$$
Vemos que os valores se repetem entre 2 e 1.
- A progressão $latex u_{n+1}=\frac{1}{u_{n}}$, onde $latex u_{1}=7$ é periódica. Escrevendo para os seis primeiros termos da progressão, temos:
$$7,~\frac{1}{7},~7,~\frac{1}{7},~7, ~\frac{1}{7}$$
Vemos que os valores se repetem entre 7 e $latex \frac{1}{7}$.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
