As duas progressões mais simples com as quais podemos trabalhar são as progressões aritméticas e geométricas. As progressões aritméticas são caracterizadas por seus termos serem formados pela adição de uma diferença comum. Por outro lado, as progressões geométricas são formadas multiplicando os termos por uma razão comum.
Neste artigo, exploraremos essas progressões e aprenderemos a escrever termos para progressões aritméticas e progressões geométricas. Também aprenderemos a resolver alguns exercícios.
ALGEBRA
Relevante para…
Resolver problemas com progressões aritméticas e geométricas.
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Resolver problemas com progressões aritméticas e geométricas.
Progressões aritméticas
Uma progressão aritmética é uma lista de números com um padrão definido. Se pegarmos um número da progressão e o subtrairmos pelo número anterior e o resultado for sempre o mesmo, então é uma sequência aritmética.
A diferença constante em todos os pares de números consecutivos em uma progressão é chamada de diferença comum, denotada pela letra d. Usamos a diferença comum para ir de um termo a outro. Se pegarmos um termo na sequência e adicionarmos a diferença comum, passaremos para o próximo termo. É assim que os termos em uma seqüência aritmética são gerados.
Se a diferença comum entre os termos for positiva, dizemos que a progressão está aumentando. Por outro lado, quando a diferença entre os termos é negativa, dizemos que a sequência é decrescente.
A seguir estão dois exemplos de progressão aritmética. Observe suas diferenças comuns.
Fórmula de progressão aritmética
Se quisermos encontrar qualquer termo (como o termo n) na progressão aritmética, podemos usar a fórmula da progressão aritmética para fazer isso. Basta extrair ou identificar valores do problema que serão substituídos na fórmula.
Vamos ver as partes essenciais da fórmula:
onde temos:
- $latex {{a}_n}=$ termo que queremos encontrar
- $latex {{a}_1}=$ primeiro termo na lista ordenada de números
- $latex n=$ a posição do termo, por exemplo, 5 para o quinto termo
- $latex d=$ a diferença comum de qualquer par de termos consecutivos
Exercícios de progressão aritmética
EXERCÍCIO 1
Encontre o seguinte termo na seguinte progressão:
4, 7, 10, 13, 16, ?
Solução
Primeiro, encontramos a diferença comum em cada par de números consecutivos:
- $latex 7-4=3$
- $latex 10-7=3$
- $latex 13-10=3$
- $latex 16-13=3$
Uma vez que $latex d=3$, podemos encontrar o termo que segue após 16 simplesmente adicionando 3. Portanto, temos $latex 16+3=19$.
4, 7, 10, 13, 16, 19
EXERCÍCIO 2
Encontre o próximo termo na seguinte progressão:
29, 22, 15, 8, ?
Solução
Primeiro, encontramos a diferença comum em cada par de números consecutivos:
- $latex 22-29=-7$
- $latex 15-22=-7$
- $latex 8-15=-7$
Dado que $latex d=-7$, podemos encontrar o termo que segue o 8 simplesmente adicionando -7. Então nós temos $latex 8+(-7)=1$.
29, 22, 15, 8, 1
EXERCÍCIO 3
Encontre o termo 20 na seguinte progressão aritmética:
3, 6, 9, 12, …
Solução
Precisamos de três coisas para encontrar o termo 20 usando a fórmula:
- O primeiro termo $latex ({{a}_{1}})$
- A diferença comum entre termos consecutivos $latex (d)$
- A posição do termo $latex (n)$
Então temos:
- primeiro termo $latex ={{a}_{1}}=3$
- diferença comum $latex =d=3$
- posição do termo $latex =n=20$
e substituímos os valores na fórmula:
$latex {{a}_{n}}={{a}_{1}}+(n-1)d$
$latex {{a}_{20}}=3+(20-1)3$
$latex {{a}_{20}}=3+(19)3$
$latex {{a}_{20}}=3+57$
$latex {{a}_{20}}=60$
EXERCÍCIO 4
Encontre o termo 15 na seguinte progressão aritmética:
25, 21, 17, 13, …
Solução
Precisamos de três coisas para encontrar o termo 15 usando a fórmula:
- O primeiro termo $latex ({{a}_{1}})$
- A diferença comum entre termos consecutivos $latex (d)$
- A posição do termo $latex (n)$
Então, temos:
- primeiro termo $latex ={{a}_{1}}=25$
- diferença comum $latex =d=-4$
- posição do termo $latex =n=15$
e substituímos os valores na fórmula:
$latex {{a}_{n}}={{a}_{1}}+(n-1)d$
$latex {{a}_{15}}=25+(15-1)(-4)$
$latex {{a}_{15}}=25+(14)(-4)$
$latex {{a}_{15}}=25-56$
$latex {{a}_{15}}=-31$
EXERCÍCIO 5
Encontre o termo 22 na seguinte progressão aritmética:
5, 11, 17, 23, …
Solução
Precisamos de três coisas para encontrar o termo 22 usando a fórmula:
- O primeiro termo $latex ({{a}_{1}})$
- A diferença comum entre termos consecutivos $latex (d)$
- A posição do termo $latex (n)$
Então, temos:
- primeiro termo $latex ={{a}_{1}}=5$
- diferença comum $latex =d=6$
- posição do termo $latex =n=22$
e substituímos os valores na fórmula:
$latex {{a}_{n}}={{a}_{1}}+(n-1)d$
$latex {{a}_{22}}=5+(22-1)6$
$latex {{a}_{22}}=5+(21)6$
$latex {{a}_{22}}=5+126$
$latex {{a}_{22}}=131$
Experimente você mesmo – Resolva os exercícios
Progressões geométricas
Uma progressão geométrica é uma progressão de números que segue um padrão em que o próximo termo é encontrado multiplicando-se por uma constante chamada razão comum r.
Semelhante às progressões aritméticas, as progressões geométricas também podem aumentar ou diminuir. No entanto, em progressões geométricas, isso depende se a proporção comum é maior que 1 ou menor que 1:
Fórmula de progressão geométrica
Se quisermos encontrar qualquer termo (conhecido como termo n) na progressão geométrica, podemos usar a fórmula de progressão geométrica para fazer isso. Precisamos apenas extrair as informações necessárias do problema para substituí-lo na fórmula.
A seguir estão as partes essenciais da fórmula:
onde temos:
- $latex {{a}_{n}} =$ termo que queremos encontrar
- $latex {{a}_1} =$ primeiro termo na progressão
- $latex n =$ a posição do termo, por exemplo, 4 para o quarto termo
- $latex r =$ a razão comum
A razão comum pode ser calculada dividindo um termo pelo termo anterior:
$$r=\frac{{{{a}_{n}}}}{{{{a}_{{n-1}}}}}$$
Exercícios de progressão geométrica
EXERCÍCIO 1
Encontre o seguinte termo na seguinte progressão:
5, 15, 45, 135, ?
Solução
Primeiro, encontramos a proporção comum em cada par de números consecutivos:
- $latex r=\frac{15}{5}=3$
- $latex r=\frac{45}{15}=3$
- $latex r=\frac{135}{45}=3$
Uma vez que $latex r=3$, podemos encontrar o termo que segue após 135 simplesmente multiplicando por 3. Portanto, temos $latex 135(3)=405$.
5, 15, 45, 135, 405
EXERCÍCIO 2
Encontre o seguinte termo na seguinte progressão:
4, -20, 100, -500, 2500 ?
Solução
Primeiro, encontramos a proporção comum em cada par de números consecutivos:
- $latex r=\frac{-20}{4}=-5$
- $latex r=\frac{100}{-20}=-5$
- $latex r=\frac{-500}{100}=-5$
- $latex r=\frac{2500}{-500}=-5$
Uma vez que $latex r=-5$, podemos encontrar o termo que segue após 2500 simplesmente multiplicando por -5. Então temos $latex 2500(-5)=-12500$.
4, -20, 100, -500, 2500, -12500
EXERCÍCIO 3
Encontre o seguinte termo na seguinte progressão:
-80, 40, -20, 10 ?
Solução
Primeiro, encontramos a proporção comum em cada par de números consecutivos:
- $latex r=\frac{40}{-80}=-0,5$
- $latex r=\frac{-20}{40}=-0,5$
- $latex r=\frac{10}{-20}=-0,5$
Uma vez que $latex r=-0,5$, podemos encontrar o termo que segue o 10 simplesmente multiplicando por -0,5. Então, temos $latex 10(-0.5)=-5$.
-80, 40, -20, 10, -5
EXERCÍCIO 4
Encontre o termo 10 na seguinte progressão geométrica:
2, 4, 8, 16, …
Solução
Precisamos de três coisas para encontrar o termo 10 usando a fórmula:
- O primeiro termo $latex ({{a}_{1}})$
- A proporção comum entre termos consecutivos $latex (r)$
- A posição do termo $latex (n)$
Então, temos:
- primeiro termo $latex ={{a}_{1}}=2$
- razão comum $latex =r=\frac{4}{2}=2$
- posição do termo $latex =n=10$
e substituímos os valores na fórmula:
$latex {{a}_{n}}={{a}_{1}}\left( {{{r}^{{n-1}}}} \right)$
$latex {{a}_{10}}=2\left( {{{2}^{{10-1}}}} \right)$
$latex {{a}_{10}}=2\left( {{{2}^{{9}}}} \right)$
$latex {{a}_{10}}=2(512)$
$latex {{a}_{10}}=1024$
EXERCÍCIO 5
Encontre o termo 6 na seguinte progressão geométrica:
3, 12, 48, 192, …
Solução
Precisamos de três coisas para encontrar o termo 6 usando a fórmula:
- O primeiro termo $latex ({{a}_{1}})$
- A razão comum entre termos consecutivos $latex (r)$
- A posição do termo $latex (n)$
Então, temos:
- primeiro termo $latex ={{a}_{1}}=3$
- razão comum $latex =r=\frac{12}{3}=4$
- posição do termo $latex =n=6$
e substituímos os valores na fórmula:
$latex {{a}_{n}}={{a}_{1}}\left( {{{r}^{{n-1}}}} \right)$
$latex {{a}_{6}}=3\left( {{{4}^{{6-1}}}} \right)$
$latex {{a}_{6}}=3\left( {{{4}^{{5}}}} \right)$
$latex {{a}_{6}}=3(1024)$
$latex {{a}_{6}}=3072$
EXERCÍCIO 6
Encontre o termo 6 na seguinte progressão geométrica:
-2400, 1200, -600, 300, …
Solução
Precisamos de três coisas para encontrar o termo 6 usando a fórmula:
- O primeiro termo $latex ({{a}_{1}})$
- A razão comum entre termos consecutivos $latex (r)$
- A posição do termo $latex (n)$
Então, temos:
- primeiro termo $latex ={{a}_{1}}=-2400$
- razão comum $latex =r=\frac{1200}{-2400}=-0,5$
- posição do termo $latex =n=6$
e substituímos os valores na fórmula:
$latex {{a}_{n}}={{a}_{1}}\left( {{{r}^{{n-1}}}} \right)$
$latex {{a}_{6}}=-2400\left( {{{-0,5}^{{6-1}}}} \right)$
$latex {{a}_{6}}=-2400\left( {{{-0,5}^{{5}}}} \right)$
$latex {{a}_{6}}=-2400(-0,03125)$
$latex {{a}_{6}}=75$
Experimente você mesmo – Resolva os exercícios
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
