Podemos encontrar o primeiro termo de uma progressão geométrica usando a fórmula do termo geral. Em seguida, colocamos os valores da razão comum e de quaisquer termos na progressão, com sua posição, e resolvemos para a.
A seguir, aprenderemos como encontrar o primeiro termo de progressões geométricas. Conheceremos sua fórmula e a aplicaremos para resolver alguns exercícios práticos.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender a encontrar o primeiro termo de uma progressão geométrica.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender a encontrar o primeiro termo de uma progressão geométrica.
Passos para encontrar o primeiro termo de uma progressão geométrica
Uma progressão geométrica tem como principal característica que cada termo é formado pela multiplicação do termo anterior por um valor específico. Esse valor é chamado de razão comum.
Por exemplo, a progressão 2, 6, 18, 54, …, é formada multiplicando cada termo por 3 para obter o próximo. Ou seja, a razão comum é 3.
Lembre-se de que a fórmula para encontrar qualquer termo em uma progressão geométrica é
$$a_{n}=ar^{n-1}$$
onde,
- $latex a$ é o primeiro termo da progressão.
- $latex r$ é a razão comum.
- $latex n $ é a posição do termo.
Assim, podemos reescrever esta fórmula da seguinte forma para encontrar o primeiro termo:
$$a=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}$$
Assim, podemos encontrar o primeiro termo de uma progressão geométrica:
1. Encontre a razão comum.
Podemos encontrar a razão comum dividindo qualquer termo pelo seu termo anterior.
2. Identifique o valor de qualquer termo na progressão e sua posição.
A posição do termo é o valor de $latex n$.
3. Use a fórmula do primeiro termo.
Use os valores dos passos 1 e 2 na fórmula $latex a=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}$.
Exemplos resolvidos do primeiro termo de progressões geométricas
EXEMPLO 1
Encontre o valor do primeiro termo de uma progressão geométrica onde o 4º termo é igual a 24 e a razão comum é 2.
Solução
A pergunta nos dá os valores do termo 4 e a razão comum, para podermos identificar as seguintes informações:
- $latex a_{n}=a_{4}=24$
- $latex n=4$
- $latex r=2$
Agora, usamos esses valores na fórmula para o primeiro termo de uma progressão geométrica:
$$a=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}$$
$$a=\frac{24}{2^{4-1}}$$
$$a=\frac{24}{2^3}$$
$$a=\frac{24}{8}$$
$latex a=3$
EXEMPLO 2
Qual é o primeiro termo de uma progressão geométrica em que o 5º termo é igual a 81 e a razão comum é igual a 3?
Solução
Aqui, também conhecemos os valores de um termo e a razão comum. Então, temos o seguinte:
- $latex a_{n}=a_{5}=81$
- $latex n=5$
- $latex r=3$
Usando a fórmula para o primeiro termo de uma progressão geométrica, temos:
$$a=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}$$
$$a=\frac{81}{3^{5-1}}$$
$$a=\frac{81}{3^4}$$
$$a=\frac{81}{81}$$
$latex a=1$
EXEMPLO 3
Encontre o primeiro termo de uma progressão geométrica onde o termo 6 é igual a 128 e a razão comum é -2.
Solução
Conhecemos os valores do termo 6 e a razão comum. Então, temos o seguinte:
- $latex a_{n}=a_{6}=128$
- $latex n=6$
- $latex r=-2$
Quando usamos esses valores na fórmula para o primeiro termo, temos:
$$a=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}$$
$$a=\frac{128}{-2^{6-1}}$$
$$a=\frac{128}{-2^5}$$
$$a=\frac{128}{-32}$$
$latex a=-4$
EXEMPLO 4
Em uma progressão geométrica temos $latex a_{4}=32$ e $latex a_{5}=64$. Qual é o valor do primeiro termo?
Solução
Nesse caso, não sabemos a razão comum diretamente, mas temos as seguintes informações:
- $latex a_{4}=32$
- $latex a_{5}=64$
Assim, podemos encontrar o valor da razão comum dividindo o valor do termo 5 pelo valor do termo 4:
$$r=\frac{a_{5}}{a_{4}}$$
$$r=\frac{64}{32}=2$$
Agora, usamos a razão comum para encontrar o primeiro termo (podemos usar qualquer termo $latex a_{4}$ ou $latex a_{5}$):
$$a=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}$$
$$a=\frac{32}{2^{4-1}}$$
$$a=\frac{32}{2^3}$$
$$a=\frac{32}{8}$$
$latex a=4$
EXEMPLO 5
Encontre o valor do primeiro termo de uma progressão geométrica onde temos $latex a_{6}=30$ e $latex a_{7}=15$.
Solução
Semelhante ao exercício anterior, começamos com as seguintes informações:
- $latex a_{6}=30$
- $latex a_{7}=15$
Então, usamos esses valores para encontrar o valor da razão comum:
$$r=\frac{a_{7}}{a_{6}}$$
$$r=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$$
Agora, usamos esses valores para encontrar o primeiro termo:
$$a=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}$$
$$a=\frac{30}{(\frac{1}{2})^{6-1}}$$
$$a=\frac{30}{(\frac{1}{2})^5}$$
$$a=\frac{30}{\frac{1}{32}}$$
$latex a=960$
EXEMPLO 6
Se temos $latex a_{4}=48$ e $latex a_{6}=12$, encontre os possíveis valores do primeiro termo da progressão geométrica.
Solução
Temos as seguintes informações:
- $latex a_{4}=48$
- $latex a_{6}=12$
A proporção comum é igual a $latex r=\frac{a_{6}}{a_{5}}$ e também $latex r=\frac{a_{5}}{a_{4}}$.
Assim, podemos resolver uma das equações para $latex a_{5}$ e substituir na segunda equação. Na segunda equação, $latex a_{5}=ra_{4}$. Então:
$$r=\frac{a_{6}}{a_{5}}$$
$$r=\frac{a_{6}}{ra_{4}}$$
$$r=\frac{12}{48r}$$
$latex 48r^2=12$
$$r^2=\frac{1}{4}$$
$latex r=\pm \frac{1}{2}$
Agora, usamos a fórmula do primeiro termo:
$$a=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}$$
$$a=\frac{48}{(\frac{1}{2})^{4-1}}$$
$$a=\frac{48}{(\pm \frac{1}{2})^3}$$
$$a=\frac{48}{\pm \frac{1}{8}}$$
$latex a=\pm 384$
Primeiro termo das progressões geométricas – Exercícios para resolver
Encontre o primeiro termo de uma progressão geométrica onde o segundo termo é igual a -12 e o quinto termo é igual a 768.
Escreva a resposta na caixa.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
