Termo geral de uma progressão geométrica – Exercícios resolvidos

Nesse caso, conhecemos diretamente os valores do primeiro termo e a razão comum. Assim, podemos ver as seguintes informações:

• Primeiro termo: $latex a=5$
• Razão comum: $latex r=2$
• Posição do termo: $latex n=4$

Agora, aplicamos a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica com os valores dados:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{4}=(5)(2)^{4-1}$

$latex a_{4}=(5)(2)^3$

$latex a_{4}=(5)(8)$

$latex a_{4}=40$

Como no exercício anterior, aqui também conhecemos os valores do primeiro termo e a razão comum. Então temos:

• $latex a=3$
• $latex r=3$
• $latex n=6$

Quando usamos a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, temos:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{6}=(3)(3)^{6-1}$

$latex a_{6}=(3)(3)^5$

$latex a_{6}=(3)(243)$

$latex a_{6}=729$

Podemos observar os seguintes valores:

• $latex a=6$
• $latex r=-2$
• $latex n=6$

Vemos que temos uma razão comum negativa. No entanto, a fórmula do termo geral se aplica em qualquer caso:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{6}=(6)(-2)^{6-1}$

$latex a_{6}=(6)(-2)^5$

$latex a_{6}=(6)(-32)$

$latex a_{6}=-192$

Neste exercício, sabemos o valor do primeiro termo, mas não sabemos o valor da razão comum da progressão.

Podemos encontrar o valor da razão comum dividindo qualquer termo pelo seu termo anterior. Por exemplo, $latex \frac{6}{3}=2$. Então temos:

• $latex a=3$
• $latex r=2$
• $latex n=6$

Agora, usamos esses valores na fórmula do termo geral:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{6}=(3)(2)^{6-1}$

$latex a_{6}=(3)(2)^5$

$latex a_{6}=(3)(32)$

$latex a_{6}=96$

Temos que começar encontrando o valor da razão comum. Então, temos $latex \frac{15}{-5}=-3$:

• $latex a=-5$
• $latex r=-3$
• $latex n=6$

Agora, podemos aplicar a fórmula do termo geral:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{6}=(-5)(2)^{6-1}$

$latex a_{6}=(-5)(-3)^5$

$latex a_{6}=(-5)(-243)$

$latex a_{6}=1215$

A proporção comum da progressão é $latex \frac{4}{2}=2$. Assim, temos os seguintes valores:

• $latex a=2$
• $latex r=2$
• $latex n=10$

Agora, podemos aplicar a fórmula do termo geral com estes valores:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{10}=(2)(2)^{10-1}$

$latex a_{10}=(2)(2)^9$

$latex a_{10}=(2)(512)$

$latex a_{10}=1024$

O valor da razão comum da progressão é $latex \frac{-3}{1}=-3$. Então, temos o seguinte:

• $latex a=1$
• $latex r=-3$
• $latex n=7$

Agora, aplicamos a fórmula do termo geral com os valores fornecidos:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex a_{7}=(1)(-3)^{7-1}$

$latex a_{7}=(1)(-3)^6$

$latex a_{7}=(1)(729)$

$latex a_{7}=729$

Encontramos a razão comum dividindo um termo pelo seu termo anterior: $latex \frac{3}{2}$. Então temos:

• $latex a=2$
• $latex r=\frac{3}{2}$
• $latex n=9$

Agora, usamos a fórmula do termo geral:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$$a_{9}=(2)\left(\frac{3}{2}\right)^{9-1}$$

$$a_{9}=(2)\left(\frac{3}{2}\right)^8$$

$$a_{9}=(2)\left(\frac{6561}{256}\right)$$

$$a_{9}=\frac{6561}{128}$$

$$a_{9}=51\frac{33}{128}$$

A razão comum de progressão é $latex \frac{-54}{81}=-\frac{2}{3}$. Assim, temos os seguintes valores:

• $latex a=81$
• $latex r=-\frac{2}{3}$
• $latex n=8$

Aplicando a fórmula do termo geral com os valores dados, temos:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$$a_{8}=(81)\left(-\frac{2}{3}\right)^{8-1}$$

$$a_{8}=(81)\left(-\frac{2}{3}\right)^7$$

$$a_{8}=(81)\left(-\frac{128}{2187}\right)$$

$$a_{8}=-\frac{128}{27}$$

$$a_{8}=-4\frac{20}{27}$$

A razão comum da progressão é $latex \frac{2}{5}\div 2= \frac{1}{5}$. Então, temos o seguinte:

• $latex a=2$
• $latex r=\frac{1}{5}$
• $latex n=5$

Agora, usamos esses valores na fórmula para o termo geral de uma progressão geométrica:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$$a_{5}=(2)\left(\frac{1}{5}\right)^{5-1}$$

$$a_{5}=(2)\left(\frac{1}{5}\right)^4$$

$$a_{5}=(2)\left(\frac{1}{625}\right)$$

$$a_{5}=\frac{2}{625}$$