A soma de qualquer progressão geométrica pode ser calculada usando uma fórmula padrão. Esta fórmula usa os valores do primeiro termo, a razão comum e o número de termos. Existem duas variações desta fórmula que podem ser aplicadas dependendo se a razão comum é maior que 1 ou menor que 1.
A seguir, vamos resolver alguns exercícios sobre a soma de progressões geométricas. Além disso, veremos alguns exercícios práticos para aplicar o que você aprendeu.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Resolver alguns exercícios sobre a soma de progressões geométricas.
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Resolver alguns exercícios sobre a soma de progressões geométricas.
Fórmulas para a soma de uma progressão geométrica
Uma progressão geométrica é uma progressão na qual cada um de seus termos é formado pela multiplicação do termo anterior por um número chamado razão comum.
Podemos encontrar a soma dos primeiros $latex n$ termos de uma progressão geométrica usando a seguinte fórmula:
$$S_{n}=a\left( \frac{1-r^n}{1-r}\right)$$
Alternativamente, podemos escrever a fórmula da seguinte forma:
$$S_{n}=a\left( \frac{r^n-1}{r-1}\right)$$
onde,
- $latex a$ é o primeiro termo da progressão.
- $latex r$ é a razão comum.
- $latex n $ é o número de termos.
Demonstração da fórmula da soma das progressões geométricas
Cada termo de uma progressão geométrica é obtido multiplicando o termo anterior pela razão comum $latex r$. Assim, podemos escrever o seguinte:
$$S_{n}=a+ar+ar^2+…+ar^{n-1}$$
Esta é a equação [1]. Se multiplicarmos ambos os lados da equação por $latex r$, teremos:
$$rS_{n}=ar+ar^2+ar^3+…+ar^n$$
Esta é a equação [2]. Se subtrairmos a equação [2] da equação [1], temos:
$$S_{n}-rS_{n}=(a+ar+…+ar^{n-1})-(ar+ar^2+…+ar^n)$$
Simplificando, temos:
$$S_{n}(1-r)=a-ar^n$$
$$S_{n}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$
Podemos obter a versão alternativa se multiplicarmos o numerador e o denominador desta fórmula por -1:
$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$
10 Exercícios resolvidos de somas de progressões geométricas
EXERCÍCIO 1
Qual é a soma dos quatro primeiros termos de uma progressão geométrica em que o primeiro termo é igual a 5 e a razão comum é igual a 2?
Solução
Para resolver este exercício, começamos escrevendo as informações que conhecemos:
- Primeiro termo: $latex a=5$
- Razão comum: $latex r=2$
- Número de termos: $latex n=4$
Agora, podemos usar a fórmula para a soma de uma progressão geométrica com os valores dados:
$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$
$$S_{4}=\frac{5(2^4-1)}{2-1}$$
$$=\frac{5(16-1)}{1}$$
$$=\frac{5(15)}{1}$$
$$S_{4}=75$$
EXERCÍCIO 2
Se uma progressão geométrica começa com o termo 6 e sua razão comum é -2, encontre a soma dos 5 primeiros termos.
Solução
Começamos escrevendo as informações que conhecemos:
- Primeiro termo: $latex a=6$
- Razão: $latex r=-2$
- Número de termos: $latex n=5$
Aplicando a fórmula da soma das progressões geométricas, temos:
$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$
$$S_{5}=\frac{6((-2)^5-1)}{-2-1}$$
$$=\frac{6(-32-1)}{-3}$$
$$=\frac{6(-33)}{-3}$$
$$=\frac{-198}{-3}$$
$latex S_{5}=66$
EXERCÍCIO 3
Encontre a soma dos quatro primeiros termos de uma progressão geométrica com um primeiro termo igual a 1 e uma razão comum igual a $latex \frac{1}{4}$.
Solução
Temos os seguintes valores:
- Primeiro termo: $latex a=1$
- Razão comum: $latex r=\frac{1}{4}$
- Número de termos: $latex n=4$
Aplicando a fórmula da soma das progressões geométricas, temos:
$$S_{n}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$
$$S_{4}=\frac{1(1-(\frac{1}{4})^4)}{1-\frac{1}{4}}$$
Vamos aplicar a diferença de quadrados ao numerador duas vezes. Depois, simplificamos:
$$S_{4}=\frac{(1-(\frac{1}{4})^2)(1+(\frac{1}{4})^2)}{1-\frac{1}{4}}$$
$$=\frac{(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})(1+(\frac{1}{4})^2)}{1-\frac{1}{4}}$$
$$=\left(1+\frac{1}{4}\right)\left(1+(\frac{1}{4})^2\right)$$
$$=\left(\frac{5}{4}\right)\left(\frac{17}{16}\right)$$
$$S_{4}=\frac{85}{64}$$
EXERCÍCIO 4
Uma progressão geométrica começa com os termos 3, 6, 12, … Encontre a soma dos 10 primeiros termos.
Solução
Não sabemos o valor da razão comum diretamente, mas podemos encontrá-lo dividindo um termo pelo seu termo anterior. Então, temos: 6/3 = 2:
- $latex a=3$
- $latex r=2$
- $latex n=10$
Quando usamos esses valores na fórmula da soma, temos:
$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$
$$S_{10}=\frac{3(2^{10}-1)}{2-1}$$
$$=\frac{3(1024-1)}{1}$$
$latex =3(1023)$
$latex S_{10}=3069$
EXERCÍCIO 5
Encontre a soma dos 8 primeiros termos de uma progressão geométrica que começa com os termos 5, 10, 20, …
Solução
Para resolver este exercício, temos que começar encontrando a razão comum. Então, temos: 10/5=2, e temos os seguintes valores:
- $latex a=5$
- $latex r=2$
- $latex n=8$
Agora, usamos esses valores na fórmula da soma:
$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$
$$S_{8}=\frac{5(2^8-1)}{2-1}$$
$$=\frac{5(256-1)}{1}$$
$latex =5(255)$
$latex S_{8}=1275$
EXERCÍCIO 6
Qual é a soma dos 6 primeiros termos da progressão geométrica que começa com os termos -2, 8, -32, …?
Solução
Semelhante aos exercícios anteriores, começamos encontrando a razão comum. Então, 8/-2=-4, e temos o seguinte:
- $latex a=-2$
- $latex r=-4$
- $latex n=6$
Quando usamos a fórmula da soma das progressões geométricas, temos:
$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$
$$S_{6}=\frac{-2((-4)^6-1)}{-4-1}$$
$$=\frac{-2(4096-1)}{-5}$$
$$=\frac{-2(4095)}{-5}$$
$latex S_{6}=1638$
EXERCÍCIO 7
Encontre a soma dos primeiros 7 termos de uma progressão geométrica começando com os termos $latex 1, ~\frac{1}{3},~\frac{1}{9}$.
Solução
A razão comum da progressão é $latex \frac{1}{3} \div 1= \frac{1}{3}$. Então, temos o seguinte:
- $latex a=1$
- $latex r=\frac{1}{3}$
- $latex n=7$
Agora, usamos a fórmula de adição em sua versão alternativa, pois a razão comum é menor que 1, e temos:
$$S_{n}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$
$$S_{7}=\frac{1(1-(\frac{1}{3})^7}{1-\frac{1}{3}}$$
$$=\frac{(1-\frac{1}{2187})}{\frac{2}{3}}$$
$$=\frac{\frac{2186}{2187}}{\frac{2}{3}}$$
$$=\frac{1093}{729}$$
$latex S_{7}=1~ \frac{364}{729}$
EXERCÍCIO 8
Qual é a soma da seguinte progressão geométrica?
$$3+6+12+…+384$$
Solução
Neste caso, conhecemos os três primeiros termos e o último termo. Não conhecemos nem a razão comum, nem o número de termos.
A razão comum é 6/3 = 2. Para encontrar o número de termos, usamos a fórmula para o termo geral de uma progressão geométrica, $latex a_{n}=ar^{n-1}$ e resolvemos para $latex n$:
$latex a_{n}=ar^{n-1}$
$latex 384=(3)(2)^{n-1}$
$latex 128=2^{n-1}$
$$128=\frac{2^n}{2^1}$$
$latex 256=2^n$
$latex n=\log_{2}(256)$
$latex n=8$
Agora que temos todos os valores necessários, usamos a fórmula da soma:
$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$
$$S_{8}=\frac{3(2^8-1)}{2-1}$$
$$=\frac{3(256-1)}{1}$$
$latex =3(255)$
$latex S_{8}=765$
EXERCÍCIO 9
Encontre a soma da seguinte progressão geométrica:
$$4-12+36-…-972$$
Solução
Novamente, começamos encontrando a razão comum: -12/4=-3.
Agora, usamos a fórmula para o termo geral de uma progressão geométrica, $latex a_{n}=ar^{n-1}$ para encontrar o número de termos:
$latex a_{n}=ar^{n-1}$
$latex -972=(4)(-3)^{n-1}$
$latex 243=(-3)^{n-1}$
$$243=\frac{(-3)^n}{(-3)^1}$$
$latex -729=(-3)^n$
$latex n=6$
Aplicando a fórmula da soma com os valores encontrados, temos:
$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$
$$S_{6}=\frac{4((-3)^6-1)}{(-3)-1}$$
$$=\frac{4(729-1)}{-4}$$
$latex S_{6}=-728$
EXERCÍCIO 10
Encontre a soma da seguinte progressão geométrica:
$$\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+…+\frac{1}{4096}$$
Solução
Começamos encontrando a razão comum da progressão: $latex \frac{1}{16}\div \frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.
Agora, encontramos o número de termos usando a fórmula $latex a_{n}=ar^{n-1}$:
$latex a_{n}=ar^{n-1}$
$$\frac{1}{4096}=\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$$
$$\frac{1}{1024}=\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$$
$$\frac{1}{1024}=\frac{\left(\frac{1}{4}\right)^n}{\left(\frac{1}{4}\right)^1}$$
$latex 4^n=4096$
$latex n=\log_{4}(4096)$
$latex n=6$
Aplicando a fórmula da soma com esses valores, temos:
$$S_{6}=\frac{\frac{1}{4}\left(1-\left(\frac{1}{4}\right)^6\right)}{1-\frac{1}{4}}$$
$$=\frac{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4096}\right)}{\frac{3}{4}}$$
$$=\frac{\frac{1}{4}\left(\frac{4095}{4096}\right)}{\frac{3}{4}}$$
$$S_{6}=\frac{1365}{4096}$$
Exercícios de soma de progressões geométricas para resolver
Encontre a soma da seguinte progressão geométrica $$7-14+28-…+448$$
Escreva a resposta na caixa.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
