Soma de progressões geométricas – Exercícios resolvidos

Para resolver este exercício, começamos escrevendo as informações que conhecemos:

• Primeiro termo: $latex a=5$
• Razão comum: $latex r=2$
• Número de termos: $latex n=4$

Agora, podemos usar a fórmula para a soma de uma progressão geométrica com os valores dados:

$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

$$S_{4}=\frac{5(2^4-1)}{2-1}$$

$$=\frac{5(16-1)}{1}$$

$$=\frac{5(15)}{1}$$

$$S_{4}=75$$

Começamos escrevendo as informações que conhecemos:

• Primeiro termo: $latex a=6$
• Razão: $latex r=-2$
• Número de termos: $latex n=5$

Aplicando a fórmula da soma das progressões geométricas, temos:

$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

$$S_{5}=\frac{6((-2)^5-1)}{-2-1}$$

$$=\frac{6(-32-1)}{-3}$$

$$=\frac{6(-33)}{-3}$$

$$=\frac{-198}{-3}$$

$latex S_{5}=66$

Temos os seguintes valores:

• Primeiro termo: $latex a=1$
• Razão comum: $latex r=\frac{1}{4}$
• Número de termos: $latex n=4$

Aplicando a fórmula da soma das progressões geométricas, temos:

$$S_{n}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

$$S_{4}=\frac{1(1-(\frac{1}{4})^4)}{1-\frac{1}{4}}$$

Vamos aplicar a diferença de quadrados ao numerador duas vezes. Depois, simplificamos:

$$S_{4}=\frac{(1-(\frac{1}{4})^2)(1+(\frac{1}{4})^2)}{1-\frac{1}{4}}$$

$$=\frac{(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})(1+(\frac{1}{4})^2)}{1-\frac{1}{4}}$$

$$=\left(1+\frac{1}{4}\right)\left(1+(\frac{1}{4})^2\right)$$

$$=\left(\frac{5}{4}\right)\left(\frac{17}{16}\right)$$

$$S_{4}=\frac{85}{64}$$

Não sabemos o valor da razão comum diretamente, mas podemos encontrá-lo dividindo um termo pelo seu termo anterior. Então, temos: 6/3 = 2:

• $latex a=3$
• $latex r=2$
• $latex n=10$

Quando usamos esses valores na fórmula da soma, temos:

$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

$$S_{10}=\frac{3(2^{10}-1)}{2-1}$$

$$=\frac{3(1024-1)}{1}$$

$latex =3(1023)$

$latex S_{10}=3069$

Para resolver este exercício, temos que começar encontrando a razão comum. Então, temos: 10/5=2, e temos os seguintes valores:

• $latex a=5$
• $latex r=2$
• $latex n=8$

Agora, usamos esses valores na fórmula da soma:

$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

$$S_{8}=\frac{5(2^8-1)}{2-1}$$

$$=\frac{5(256-1)}{1}$$

$latex =5(255)$

$latex S_{8}=1275$

Semelhante aos exercícios anteriores, começamos encontrando a razão comum. Então, 8/-2=-4, e temos o seguinte:

• $latex a=-2$
• $latex r=-4$
• $latex n=6$

Quando usamos a fórmula da soma das progressões geométricas, temos:

$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

$$S_{6}=\frac{-2((-4)^6-1)}{-4-1}$$

$$=\frac{-2(4096-1)}{-5}$$

$$=\frac{-2(4095)}{-5}$$

$latex S_{6}=1638$

A razão comum da progressão é $latex \frac{1}{3} \div 1= \frac{1}{3}$. Então, temos o seguinte:

• $latex a=1$
• $latex r=\frac{1}{3}$
• $latex n=7$

Agora, usamos a fórmula de adição em sua versão alternativa, pois a razão comum é menor que 1, e temos:

$$S_{n}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

$$S_{7}=\frac{1(1-(\frac{1}{3})^7}{1-\frac{1}{3}}$$

$$=\frac{(1-\frac{1}{2187})}{\frac{2}{3}}$$

$$=\frac{\frac{2186}{2187}}{\frac{2}{3}}$$

$$=\frac{1093}{729}$$

$latex S_{7}=1~ \frac{364}{729}$

Neste caso, conhecemos os três primeiros termos e o último termo. Não conhecemos nem a razão comum, nem o número de termos.

A razão comum é 6/3 = 2. Para encontrar o número de termos, usamos a fórmula para o termo geral de uma progressão geométrica, $latex a_{n}=ar^{n-1}$ e resolvemos para $latex n$:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex 384=(3)(2)^{n-1}$

$latex 128=2^{n-1}$

$$128=\frac{2^n}{2^1}$$

$latex 256=2^n$

$latex n=\log_{2}(256)$

$latex n=8$

Agora que temos todos os valores necessários, usamos a fórmula da soma:

$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

$$S_{8}=\frac{3(2^8-1)}{2-1}$$

$$=\frac{3(256-1)}{1}$$

$latex =3(255)$

$latex S_{8}=765$

Novamente, começamos encontrando a razão comum: -12/4=-3.

Agora, usamos a fórmula para o termo geral de uma progressão geométrica, $latex a_{n}=ar^{n-1}$ para encontrar o número de termos:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$latex -972=(4)(-3)^{n-1}$

$latex 243=(-3)^{n-1}$

$$243=\frac{(-3)^n}{(-3)^1}$$

$latex -729=(-3)^n$

$latex n=6$

Aplicando a fórmula da soma com os valores encontrados, temos:

$$S_{n}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

$$S_{6}=\frac{4((-3)^6-1)}{(-3)-1}$$

$$=\frac{4(729-1)}{-4}$$

$latex S_{6}=-728$

Começamos encontrando a razão comum da progressão: $latex \frac{1}{16}\div \frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.

Agora, encontramos o número de termos usando a fórmula $latex a_{n}=ar^{n-1}$:

$latex a_{n}=ar^{n-1}$

$$\frac{1}{4096}=\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$$

$$\frac{1}{1024}=\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$$

$$\frac{1}{1024}=\frac{\left(\frac{1}{4}\right)^n}{\left(\frac{1}{4}\right)^1}$$

$latex 4^n=4096$

$latex n=\log_{4}(4096)$

$latex n=6$

Aplicando a fórmula da soma com esses valores, temos:

$$S_{6}=\frac{\frac{1}{4}\left(1-\left(\frac{1}{4}\right)^6\right)}{1-\frac{1}{4}}$$

$$=\frac{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4096}\right)}{\frac{3}{4}}$$

$$=\frac{\frac{1}{4}\left(\frac{4095}{4096}\right)}{\frac{3}{4}}$$

$$S_{6}=\frac{1365}{4096}$$