Uma escala logarítmica é uma escala não linear que às vezes é usada para analisar quantidades que variam em um intervalo muito grande. Em vez de aumentar em incrementos iguais, cada intervalo é aumentado por um fator que é igual à base do logaritmo.
Normalmente, escalas base-10 ou base-e são usadas. As escalas logarítmicas são úteis para várias aplicações, algumas das quais são a escala de pH usada em química para analisar substâncias ácidas ou bases, a escala de decibéis usada para medir o som e a escala de Richter usada para medir a intensidade dos terremotos.
Aplicações de escalas logarítmicas
Como as escalas logarítmicas crescem muito lentamente, elas são úteis para modelar situações em que temos uma ampla gama de valores. Por exemplo, as bactérias podem crescer muito rapidamente.
Em condições ideais, as bactérias podem se dividir em apenas 30 minutos, e essas bactérias se dividem novamente em 30 minutos.
Se esse processo começasse com uma única bactéria, o crescimento exponencial da bactéria produziria quase 17 milhões de bactérias em apenas 12 horas. O gráfico a seguir ilustra esse crescimento:
Este é um bom gráfico, mas tem um problema. Cada eixo do gráfico usa uma escala linear, portanto, embora as informações sejam representadas com precisão, é muito difícil saber o que está acontecendo com o crescimento da bactéria até cerca de 8 horas.
Precisamos de uma forma de redimensionar um dos eixos para que todas as informações possam ser usadas. Esta é a razão pela qual escalas logarítmicas foram desenvolvidas.
Lembre-se de que um logaritmo é simplesmente a potência à qual a base deve ser elevada para obter um determinado número. A definição de uma escala logarítmica é que é uma escala em que as unidades nos eixos são potências ou logaritmos e são normalmente usadas quando o aumento ou diminuição do valor nesse eixo é exponencial.
Na maioria dos casos, a base usada é 10. Se apenas um eixo usa uma escala logarítmica, é chamado de gráfico semi-log. Se ambos os eixos usam uma escala logarítmica, então é chamado de gráfico log-log.
Para obter mais informações do gráfico de crescimento de bactérias, podemos mudar um dos eixos de escala linear para escala logarítmica e formar um gráfico semi-log. Vamos reformatar o eixo y usando potências de 10 para representar o crescimento de bactérias:
Agora, em vez do eixo y linear, cada unidade é uma potência de 10. Por exemplo, o primeiro número é 0 e $latex {{10}^0}$ representa 1. Então, temos $latex {{10}^1}=10$. Então, temos $latex {{10}^2}= 100$ e assim por diante.
Fazendo isso, criamos um gráfico que é uma linha reta e é mais fácil de obter informações como esta. Por exemplo, o valor do logaritmo em 4 horas é cerca de 2,4. 10 elevado a 2,4 equivalem a 251 bactérias.
Escala de pH
Um exemplo do uso comum de escalas logarítmicas é a escala de pH. A escala de pH é usada em química para medir a acidez de uma substância ou composto químico. Esta escala é baseada na concentração de íons de hidrogênio na substância, denotada por $latex [{{H}^{+}}]$. O valor do pH é definido pela fórmula:
$latex pH = – \log_{10} [{{H}^{+}}]$
Os valores de PH variam de 0 a 14, onde 7 indica uma solução neutra. Quanto mais baixo o nível de pH, mais ácida é a substância. O seguinte é um exemplo de escala de pH:
EXEMPLO 1
- Calcule o pH de uma solução que tem uma concentração de íons de hidrogênio de $latex 3.98\times {{10}^{-5}}$.
Solução: Podemos usar a calculadora e a fórmula para calcular o pH de uma substância com $latex [{{H}^{+}}]=3.98\times {{10}^{-5}}$:
$latex pH=-\log_{10}(3.98\times {{10}^{-5}})=4.4$
EXEMPLO 2
- A água em um recipiente tem um pH de 7,5. Qual é a sua concentração de íons de hidrogênio?
Solução: Neste caso, temos que resolver a equação:
$latex 7.5=-\log_{10}[{{H}^{+}}]$
Podemos reescrever da seguinte forma:
$latex -7.5=\log_{10}[{{H}^{+}}]$
Agora, convertemos a equação em sua forma exponencial:
$latex [{{H}^{+}}]={{10}^{-7.5}}\approx 3.2\times {{10}^{-8}}$
A concentração de íons de hidrogênio da água é $latex 3.2\times {{10}^{-8}}$.
Escala decibel
Outro exemplo de escala logarítmica é a escala de decibéis usada para medir a intensidade do som. O volume do som é medido em decibéis, d, usando a seguinte fórmula:
$latex dB=10\log_{10}(\frac{I}{{{10}^{-12}}})$
oonde, $latex I$ é a intensidade das ondas sonoras medida em watts por metro quadrado. Por exemplo, a intensidade de um sussurro é igual a $latex {{10}^{-10}}\frac{watts}{{{m}^2}}$ e a intensidade do trovão é igual a $latex {{10}^{-1}}\frac{watts}{{{m}^2}}$.
Se sempre usássemos essas unidades, teríamos diferenças muito grandes entre as medidas. Nesse caso, temos:
$latex \frac{\text{intensidade do trovão}}{\text{intensidade do sussurro}}=\frac{{{10}^{-1}}}{{{10}^{-10}}}={{10}^9}$
O trovão é $latex {{10}^9}$ ou um milhão de vezes mais alto que um sussurro. Seria muito difícil comparar sons tão diferentes. No entanto, na escala de decibéis, um sussurro é igual a 20 decibéis e um trovão é igual a 110 decibéis. Isso é muito mais simples.
EXEMPLO
- A respiração normal gera cerca de $latex {{10}^{-11}}$ watts por metro quadrado a uma distância de 1 metro. Qual é a equivalência em decibel?
Solução: Usamos a fórmula de decibéis com $latex I={{10}^{-11}}$:
$latex dB=10\log_{10}(\frac{{{10}^{-11}}}{{{10}^{-12}}})=0\log_{10}({{10}^1}})$
$latex =10(1)=10$ decibéis
Escala Richter
A escala Richter é um método de medir a magnitude de um terremoto. Esta escala compara a amplitude da sua onda sismográfica com a amplitude da onda produzida pelo menor terremoto detectável, $latex A_{0}$. O logaritmo do quociente dessas amplitudes é igual à escala de Richter, M. Portanto, temos:
$latex M=\log_{10}(\frac{A}{A_{0}})$
EXEMPLO
- Qual seria a magnitude de um terremoto 100 vezes mais forte do que um terremoto de 6,9 na escala Richter?
Solução: Podemos representar com $latex A_{a}$ a amplitude das ondas do terremoto que tem 6,9 na escala Richter e podemos representar com $latex A_{b}$ a amplitude das ondas do terremoto que é 100 vezes mais forte. A partir da fórmula da escala de Richter, temos:
$latex 6.9=\log_{10}(\frac{A_{a}}{A_{0}})$
Agora, podemos escrever isso na forma exponencial:
$latex \frac{A_{a}}{A_{0}}={{10}^{6.9}}$
Sabemos que $latex A_{b}=100A_{a}$, então, temos:
$latex \frac{A_{a}}{A_{0}}=\frac{100A_{b}}{A_{0}}$
$latex =100(\frac{A_{b}}{A_{0}})$
$latex ={{10}^2}({{10}^{6.9}})$
$latex ={{10}^{8.9}}$
Portanto, a magnitude do terremoto mais forte é:
$latex \log_{10}(\frac{A_{a}}{A_{0}})=\log_{10}({{10}^{8.9}})$
$latex =8.9$
Veja também
Você quer aprender mais sobre logaritmos? Olha para estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
