As combinações são usadas para contar o número de maneiras diferentes que certos grupos podem ser escolhidos de um conjunto, se a ordem dos objetos não importa. Isso é diferente de permutações, onde a ordem dos objetos importa.
A seguir, veremos um breve resumo das combinações, juntamente com sua fórmula e a terminologia usada. Além disso, veremos exercícios resolvidos para aprender sobre a aplicação da fórmula de combinação.
Resumo de combinações
Combinações são seleções de objetos em uma coleção, portanto, a ordem da seleção não importa. Em combinações, podemos selecionar os objetos em qualquer ordem. Por exemplo, se temos ab e ba, essas seleções são consideradas iguais nas combinações.
A fórmula para determinar o número de organizações possíveis selecionando alguns objetos de um conjunto sem repetições é expressa da seguinte forma:
| $latex _{n}{{C}_{k}}=\frac{{n!}}{{\left( {n-k} \right)!k!}}$ |
onde:
- n é o número total de elementos em um conjunto
- k é o número de objetos selecionados
- ! é o símbolo fatorial
Lembre-se de que o fatorial (denotado como “!”) é um produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais ao número anterior ao fatorial. Por exemplo, $latex 3!=1 \times 2 \times 3 = 6$.
Exercícios de combinação resolvidos
Com os exercícios a seguir, você pode praticar a aplicação da fórmula de combinação. Cada exercício tem sua respectiva solução para analisar o raciocínio por trás de cada resposta.
EXERCÍCIO 1
Encontre o resultado da combinação $latex _{8}C_{6}$.
Solução
Usamos a fórmula de combinações $latex _{n}{{C}_{k}}=\frac{{n!}}{{\left( {n-k} \right)!k!}}$ e substituímos $latex n=8$ e $latex k=6$:
$latex _{8}{{C}_{6}}=\frac{{8!}}{{\left( {8-6} \right)!6!}}$
$latex =\frac{{8!}}{{\left( {2} \right)!6!}}$
Agora, reconhecemos que podemos escrever 8! como $latex 8\times 7\times 6!$ e eliminamos 6! tanto no numerador quanto no denominador:
$latex \frac{{8!}}{{\left( {2} \right)!6!}}=\frac{{8\times 7}}{2}$
$latex =4\times 7=28$
EXERCÍCIO 2
Encontre o resultado da combinação $latex _{9}C_{4}$.
Solução
Substituímos $latex n=9$ e $latex k=4$ na fórmula $latex _{n}{{C}_{k}}=\frac{{n!}}{{\left( {n-k} \right)!k!}}$:
$latex _{9}{{C}_{4}}=\frac{{9!}}{{\left( {9-4} \right)!4!}}$
$latex =\frac{{9!}}{{\left( {5} \right)!4!}}$
Agora, reconhecemos que podemos escrever 9! como $latex 9\times 8\times 7\times 6\times 5!$ e eliminamos 5! tanto no numerador quanto no denominador:
$latex \frac{{9!}}{{\left( {5} \right)!4!}}=\frac{{9\times 8\times 7\times 6}}{4!}$
Reescrevemos 4! como $latex 4\times 3\times 2\times 1$ e simplificamos:
$latex \frac{{9\times 8\times 7\times 6}}{4\times 3\times 2\times 1}=126$
EXERCÍCIO 3
Encontre a combinação $latex _{100}C_{100}$.
Solução
Substituímos $latex n=100$ e $latex k=100$ na fórmula $latex _{n}{{C}_{k}}=\frac{{n!}}{{\left( {n-k} \right)!k!}}$:
$latex _{100}{{C}_{100}}=\frac{{100!}}{{\left( {100-100} \right)!100!}}$
$latex =\frac{{100!}}{{\left( {1} \right)!100!}}$
Podemos eliminar facilmente 100! ambos denominador e numerador:
$latex \frac{{100!}}{{\left( {1} \right)!100!}}=1$
Este resultado faz sentido uma vez que só existe uma forma possível de selecionar 100 objetos de um conjunto de 100 objetos se a ordem não importa.
EXERCÍCIO 4
Quantas maneiras existem para escolher uma equipe de 3 de um grupo de 10?
Solução
Neste caso, escolhemos 3 pessoas, então temos $latex k=3$. O grupo total é $latex n=10$. Usando esses dados na fórmula $latex _{n}{{C}_{k}}=\frac{{n!}}{{\left( {n-k} \right)!k!}}$, temos:
$latex _{10}{{C}_{3}}=\frac{{10!}}{{\left( {10-3} \right)!3!}}$
$latex =\frac{{10!}}{{\left( {7} \right)!3!}}$
Podemos expandir o 10! até você conseguir 7! e simplificamos isso:
$latex \frac{10!}{(3)!3!}=\frac{10\times 9 \times 8 \times 7!}{(7)!3!}$
$latex =\frac{{10\times 9 \times 8}}{{3!}}$
$latex =\frac{{10\times 9 \times 8}}{{6}}$
$latex =120$
EXERCÍCIO 5
Suponha que tenhamos que selecionar 5 novos funcionários de uma lista de 10 candidatos. De quantas maneiras isso pode ser feito?
Solução
Neste caso, temos $latex n=10$ e $latex k=5$, então, temos:
$latex _{10}{{C}_{5}}=\frac{{10!}}{{\left( {10-5} \right)!5!}}$
$latex =\frac{{10!}}{{\left( {5} \right)!5!}}$
Podemos reescrever 10! até você conseguir 5! e simplificamos:
$latex \frac{{10!}}{{\left( {5} \right)!5!}}=\frac{{10 \times 9\times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}}{{\left( {5} \right)!5!}}$
$latex =\frac{{10 \times 9\times 8 \times 7 \times 6}}{{5!}}$
$latex =\frac{10 \times 9\times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4\times 3 \times 2 \times 1}$
$latex =252$
EXERCÍCIO 6
Em uma concessionária de automóveis, há 3 carros de um modelo específico que devem ser transportados para outra concessionária. Se houver um total de 25 carros desse modelo, quantas opções estão disponíveis para o transporte dos carros?
Solução
Reconhecemos que temos $latex n=25$ e $latex k=3$ e substituímos esses valores na fórmula $latex _{n}{{C}_{k}}=\frac{{n!}}{{\left( {n-k} \right)!k!}}$:
$latex _{25}{{C}_{3}}=\frac{{25!}}{{\left( {25-3} \right)!3!}}$
$latex =\frac{{25!}}{{\left( {22} \right)!3!}}$
Reescrevemos o fatorial 25! até chegarmos a 22!:
$latex \frac{{25!}}{{\left( {22} \right)!3!}}=\frac{{25 \times 24 \times 23 \times 22!}}{{\left( {22} \right)!3!}}$
Agora, simplificamos 22! no numerador e denominador:
$latex \frac{{25 \times 24 \times 23 \times 22!}}{{\left( {22} \right)!3!}}=\frac{{25 \times 24 \times 23}}{{3!}}$
$latex =25 \times 4 \times 23=2300$
EXERCÍCIO 7
Suponha que temos um escritório de 5 mulheres e 6 homens e temos que selecionar um comitê de 4 pessoas. De quantas maneiras podemos selecionar 2 homens e 2 mulheres?
Solução
Nesse caso, temos que encontrar duas combinações diferentes e depois multiplicá-las. Então, queremos calcular $latex (_{5}{{C}_{2}})(_{6}{{C}_{2}})$. Podemos calcular essas combinações separadamente:
$latex _{5}{{C}_{2}}=\frac{{5!}}{{\left( {5-2} \right)!2!}}$
$latex =\frac{{5!}}{{\left( {3} \right)!2!}}$
$latex =\frac{{5\times 4\times 3!}}{{\left( {3} \right)!2!}}$
$latex =\frac{{5\times 4}}{{2!}}=10$
$latex _{6}{{C}_{2}}=\frac{{6!}}{{\left( {6-2} \right)!2!}}$
$latex =\frac{{6!}}{{\left( {4} \right)!2!}}$
$latex =\frac{{6\times 5\times 4!}}{{\left( {4} \right)!2!}}$
$latex =\frac{{6\times 5}}{{2!}}=15$
Então, temos $latex (_{5}{{C}_{2}})(_{6}{{C}_{2}})=10\times 15=150$.
Calculadora de Combinação (nCr)
Exercícios de combinações para resolver
Coloque seu conhecimento de combinações em prática com os exercícios a seguir. Resolva as combinações e selecione uma resposta. Verifique para ter certeza de que selecionou o correto.
Veja também
Você quer aprender mais sobre fatoriais, combinações e permutações? Olha para estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
