Com as permutações, podemos contar o número de maneiras diferentes de escolher objetos de um conjunto se a ordem dos objetos for importante. Isso é diferente de combinações, onde a ordem dos objetos não importa.
A seguir, começaremos com uma visão geral das permutações e examinaremos suas fórmulas. Em seguida, veremos vários exercícios resolvidos para entender a aplicação da fórmula de permutações.
Resumo de permutações
Uma permutação é uma organização ou uma lista de objetos, em que a ordem é importante. As permutações são usadas quando contamos sem substituir objetos e a ordem é importante. Se a ordem não importa, usamos as combinações.
Em geral, P(n, k) significa o número de permutações de n objetos dos quais tomamos k objetos. Alternativamente, a fórmula de permutações é expressa da seguinte forma:
| $latex _{n}{{P}_{k}}=\frac{{n!}}{{( {n-k} )!}}$ |
onde:
- n representa o número total de elementos em um conjunto
- k representa o número de objetos selecionados
- ! é o símbolo fatorial
Para resolver problemas de permutações, devemos lembrar que o fatorial (denotado como “!”) é igual ao produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais ao número anterior ao fatorial. Por exemplo, $latex 4!=1 \times 2 \times 3 \times 4=24$.
Exercícios de permutações resolvidos
Nos exercícios a seguir, veremos a aplicação da fórmula de permutações. Cada exercício tem a sua respectiva solução detalhada, que pode ser utilizada para compreender o raciocínio na resposta a cada exercício.
EXERCÍCIO 1
Encontre o resultado da permutação $latex _{7}P_{3}$.
Solução
Temos que usar a fórmula de permutações $latex _{n}{{P}_{k}}=\frac{{n!}}{{(n-k)!}}$ e substituímos $latex n=7$ e $latex k=3$:
$latex _{7}{{P}_{3}}=\frac{{7!}}{{(7-3)!}}$
$latex =\frac{{7!}}{{(4)!}}$
Podemos simplificar isso escrevendo 7! como $latex 7\times 6\times 5\times 4!$:
$latex\frac{{7!}}{{(4)!}}=\frac{{7\times 6\times 5\times 4!}}{{(4)!}}$
$latex =7\times 6\times 5=210$
EXERCÍCIO 2
Encontre o resultado da permutação $latex _{8}P_{7}$.
Solução
Usamos a fórmula de permutações $latex _{n}{{P}_{k}}=\frac{{n!}}{{(n-k)!}}$ usando os valores $latex n=8$ e $latex k=7$:
$latex _{8}{{P}_{7}}=\frac{{8!}}{{(8-7)!}}$
$latex =\frac{{8!}}{{(1)!}}$
Neste caso, não temos nada para simplificar, então temos que calcular 8!:
$latex\frac{{8!}}{{(1)!}}=8!$
$latex =40 320$
EXERCÍCIO 3
Encontre o número de permutações $latex _{9}P_{6}$.
Solução
Neste caso, temos os valores $latex n=9$ e $latex k=6$:
$latex _{9}{{P}_{9}}=\frac{{9!}}{{(9-6)!}}$
$latex =\frac{{9!}}{{(3)!}}$
Reconhecemos que podemos escrever 9! como $latex 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3!$. Portanto, simplificamos o 3!:
$latex\frac{{9!}}{{(3)!}}=\frac{{9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3!}}{{(3)!}}$
$latex =9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4=60480$
EXERCÍCIO 4
Quantas permutações existem com 4 objetos e 2 lugares?
Solução
Podemos reconhecer os valores $latex n=4$ e $latex k=2$. Portanto, usamos a fórmula substituindo estes valores:
$latex _{4}{{P}_{2}}=\frac{{4!}}{{(4-2)!}}$
$latex =\frac{{4!}}{{(2)!}}$
Reescrevemos 4! como $latex 4\times 3\times 2!$ e simplificamos:
$latex\frac{{4!}}{{(2)!}}=\frac{{4\times 3\times 2!}}{{(2)!}}$
$latex =4\times 3=12$
EXERCÍCIO 5
De quantas maneiras um presidente, tesoureiro e secretário podem ser escolhidos entre 7 candidatos?
Solução
O problema envolve 7 candidatos, dos quais escolhemos 3. Portanto, temos os valores $latex n=7$ e $latex k=3$:
$latex _{7}{{P}_{3}}=\frac{{7!}}{{(7-3)!}}$
$latex =\frac{{7!}}{{(4)!}}$
Agora, escrevemos 7! como $latex 7\times 6\times 5\times 4!$. Portanto, simplificamos o 4!:
$latex\frac{{7!}}{{(4)!}}=\frac{{7\times 6\times 5\times 4!}}{{(4)!}}$
$latex =7\times 6\times 5=210$
EXERCÍCIO 6
De quantas maneiras os 3 primeiros lugares podem ser premiados em uma corrida com 5 participantes?
Solução
Reconhecemos os valores $latex n=5$ e $latex k=3$:
$latex _{5}{{P}_{3}}=\frac{{5!}}{{(5-3)!}}$
$latex =\frac{{5!}}{{(2)!}}$
Reescrevemos o fatorial 5! como $latex 5\times 4\times 3\times 2!$. Portanto, simplificamos o 2!:
$latex\frac{{5!}}{{(2)!}}=\frac{{5\times 4\times 3\times 2!}}{{(2)!}}$
$latex =5\times 4\times 3=60$
Calculadora de Permutação (nPr)
Exercícios de permutações para resolver
Pratique e teste seus conhecimentos sobre permutações. Selecione uma resposta e verifique se você escolheu a resposta correta. Se precisar de ajuda, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
