Os fatoriais são simplesmente produtos, indicados por um ponto de exclamação. Os fatoriais indicam que há uma multiplicação de todos os números de 1 a esse número. Expressões algébricas com fatoriais podem ser simplificadas expandindo os fatoriais e procurando fatores comuns.
A seguir, veremos um resumo dos fatoriais. Além disso, veremos vários exercícios fatoriais e simplificação de fatoriais resolvidos para entender o raciocínio usado na resolução deste tipo de exercícios.
ALGEBRA
Relevante para…
Resolver exercícios de fatoriais e simplificação de fatoriais.
ALGEBRA
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Resolver exercícios de fatoriais e simplificação de fatoriais.
Resumo de fatoriais
Representamos os fatoriais com o ponto de exclamação “!” colocado após o número ou variável. O ponto de exclamação significa que temos que multiplicar todos os inteiros que estão entre o número e 1.
Por exemplo:
$latex 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$
Geralmente, lemos isso como “5 fatorial”, embora também possamos lê-lo como “fatorial de 5”.
Por várias razões, 0! É definido como sendo igual a 1, não 0, por isso é aconselhável memorizá-lo.
Simplificação fatorial
Quando temos fatoriais tanto no numerador quanto no denominador, podemos simplificar isso facilmente expandindo os fatoriais e simplificando os números correspondentes.
Para simplificar as expressões fatoriais com variáveis no numerador e no denominador, queremos formar fatores comuns para que possamos cancelar. O resultado final é comparar os fatoriais e determinar qual deles tem maior valor. Por exemplo, se tivermos os fatoriais $latex (n+3)!$ y $latex (n+1)!$, sabemos facilmente que $latex (n+3)!$ é maior, então o expandimos até $latex (n+1)!$ aparece na sequência para simplificar:
$latex (n + 3)! = (n + 3) (n + 2) (n + 1)!$
Exercícios de fatoriais resolvidos
Os exercícios a seguir indicam a simplificação dos fatoriais. Cada exercício tem sua respectiva solução, que detalha o raciocínio utilizado para resolver o problema. Tente resolver os exercícios sozinho antes de olhar para a solução.
EXERCÍCIO 1
Encontre o resultado do fatorial 8!.
Solução
Podemos avaliar isso expandindo totalmente o fatorial:
$latex 8!=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8$
$latex =40 320$
Podemos ver que temos um grande número. Os fatoriais crescem rapidamente.
EXERCÍCIO 2
Simplifique a expressão fatorial $latex \frac{6!}{4!}$.
Solução
Temos que expandir os fatoriais para simplificar:
$latex \frac{6!}{4!}=\frac{1 \times 2\times 3\times 4 \times 5\times 6}{1 \times 2\times 3\times 4}$
Vemos que os números de 1 a 4 se repetem tanto no numerador quanto na denominação, por isso podemos eliminá-los:
$latex \frac{1 \times 2\times 3\times 4 \times 5\times 6}{1 \times 2\times 3\times 4}= 5\times 6$
$latex =30$
EXERCÍCIO 3
Simplifique a expressão fatorial $latex \frac{5!}{2!3!}$.
Solução
Expandindo esses fatoriais, temos:
$latex \frac{5!}{2!3!}=\frac{5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(2\times 1)(3\times 2\times 1)}$
Podemos simplificar os números de 1 a 3. Também podemos simplificar para 4 com 2:
$latex \frac{5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(2\times 1)(3\times 2\times 1)}=10$
EXERCÍCIO 4
Simplifique o seguinte: $latex \frac{17!}{14! 3!}$.
Solução
Começamos expandindo os fatoriais:
$latex \frac{17!}{14!3!}=\frac{1\times 2\times 3\times 4…14\times 15 \times 16 \times 17}{(1\times 2\times 3\times 4 …14)(1\times 2 \times 3)}$
Agora, podemos simplificar os números de 1 a 14 que são comuns a ambos os 14! quanto a 17!:
$latex \frac{1\times 2\times 3\times 4…14\times 15 \times 16 \times 17}{(1\times 2\times 3\times 4 …14)(1\times 2 \times 3)}=\frac{ 15 \times 16 \times 17}{1\times 2 \times 3}$
Agora, podemos simplificar 2 e 3 com 16 e 15:
$latex \frac{ 15 \times 16 \times 17}{1\times 2 \times 3}=5\times 8 \times 17=680$
Neste exercício, usamos os três pontos do meio. Isto é útil para simplificar um pouco a expressão fatorial.
EXERCÍCIO 5
Simplifique a expressão $latex \frac{n!}{(n-2)!}$.
Solução
A expressão fatorial no numerador é maior do que a expressão fatorial no denominador, portanto, expandimos para n! parcialmente até que a expressão $latex (n-2)! $ apareça:
$latex \frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}$
Agora, podemos cancelar os fatores comuns:
$latex \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}=n(n-1)$
Podemos aplicar a propriedade distributiva para simplificar:
$latex n(n-1)={{n}^2}-n$
EXERCÍCIO 6
Simplifique a expressão $latex \frac{(k+1)!}{(k+3)!}$.
Solução
Neste caso, o denominador é claramente maior do que o numerador, já que 3 está sendo adicionado a n ao contrário do numerador que está sendo adicionado apenas por 1. Mantemos o numerador inalterado enquanto expandimos o denominador até que a expressão $latex (k+1)! $ aparece:
$latex \frac{(k+1)!}{(k+3)!}= \frac{(k+1)!}{(k+3)(k+2)(k+1)!}$
Agora, cancelamos os fatores comuns:
$latex \frac{(k+1)!}{(k+3)(k+2)(k+1)!}=\frac{1}{(k+3)(k+2)}$
Multiplicamos os binômios no denominador para terminar:
$latex \frac{1}{(k+3)(k+2)}=\frac{1}{{{k}^2}+5k+6}$
EXERCÍCIO 7
Simplifique a expressão $latex \frac{(n+2)!}{(n-1)!}$.
Solução
Aqui, o numerador é maior, pois estamos adicionando 2 e no denominador estamos subtraindo 1. Portanto, expandimos parcialmente o numerador até que a expressão $latex (n-1)!$ apareça:
$latex \frac{(n+2)!}{(n-1)!}= \frac{(n+2)(n+1)(n)(n-1)!}{(n-1)!}$
Simplificamos para $latex (n-1)!$ tanto no numerador quanto no denominador:
$$\frac{(n+2)(n+1)(n)(n-1)!}{(n-1)!}=(n+2)(n+1)(n)$$
Agora, expandimos a expressão para simplificar
$latex (n+2)(n+1)(n)={{n}^3}+3{{n}^2}+2n$
Exercícios de fatoriais para resolver
Use os exercícios a seguir para testar seus conhecimentos sobre fatoriais e simplificação fatorial. Resolva os exercícios, selecione uma resposta e verifique se escolheu a correta.
Veja também
Você quer aprender mais sobre fatoriais, combinações e permutações? Olha para estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
