Exercícios de Fatoriais Resolvidos e para Resolver

Podemos avaliar isso expandindo totalmente o fatorial:

$latex 8!=1 \times 2 \times 3  \times 4  \times 5  \times 6  \times 7 \times 8$

$latex =40 320$

Podemos ver que temos um grande número. Os fatoriais crescem rapidamente.

Temos que expandir os fatoriais para simplificar:

$latex  \frac{6!}{4!}=\frac{1 \times 2\times 3\times 4 \times 5\times 6}{1 \times 2\times 3\times 4}$

Vemos que os números de 1 a 4 se repetem tanto no numerador quanto na denominação, por isso podemos eliminá-los:

$latex \frac{1 \times 2\times 3\times 4 \times 5\times 6}{1 \times 2\times 3\times 4}=  5\times 6$

$latex =30$

Expandindo esses fatoriais, temos:

$latex  \frac{5!}{2!3!}=\frac{5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(2\times 1)(3\times 2\times 1)}$

Podemos simplificar os números de 1 a 3. Também podemos simplificar para 4 com 2:

$latex \frac{5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(2\times 1)(3\times 2\times 1)}=10$

Começamos expandindo os fatoriais:

$latex  \frac{17!}{14!3!}=\frac{1\times 2\times 3\times 4…14\times 15 \times 16 \times 17}{(1\times 2\times 3\times 4 …14)(1\times 2 \times 3)}$

Agora, podemos simplificar os números de 1 a 14 que são comuns a ambos os 14! quanto a 17!:

$latex \frac{1\times 2\times 3\times 4…14\times 15 \times 16 \times 17}{(1\times 2\times 3\times 4 …14)(1\times 2 \times 3)}=\frac{ 15 \times 16 \times 17}{1\times 2 \times 3}$

Agora, podemos simplificar 2 e 3 com 16 e 15:

$latex \frac{ 15 \times 16 \times 17}{1\times 2 \times 3}=5\times 8 \times 17=680$

Neste exercício, usamos os três pontos do meio. Isto é útil para simplificar um pouco a expressão fatorial.

A expressão fatorial no numerador é maior do que a expressão fatorial no denominador, portanto, expandimos para n! parcialmente até que a expressão $latex (n-2)! $ apareça:

$latex  \frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}$

Agora, podemos cancelar os fatores comuns:

$latex \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}=n(n-1)$

Podemos aplicar a propriedade distributiva para simplificar:

$latex n(n-1)={{n}^2}-n$

Neste caso, o denominador é claramente maior do que o numerador, já que 3 está sendo adicionado a n ao contrário do numerador que está sendo adicionado apenas por 1. Mantemos o numerador inalterado enquanto expandimos o denominador até que a expressão $latex (k+1)! $ aparece:

$latex  \frac{(k+1)!}{(k+3)!}= \frac{(k+1)!}{(k+3)(k+2)(k+1)!}$

Agora, cancelamos os fatores comuns:

$latex  \frac{(k+1)!}{(k+3)(k+2)(k+1)!}=\frac{1}{(k+3)(k+2)}$

Multiplicamos os binômios no denominador para terminar:

$latex \frac{1}{(k+3)(k+2)}=\frac{1}{{{k}^2}+5k+6}$

Aqui, o numerador é maior, pois estamos adicionando 2 e no denominador estamos subtraindo 1. Portanto, expandimos parcialmente o numerador até que a expressão $latex (n-1)!$ apareça:

$latex \frac{(n+2)!}{(n-1)!}= \frac{(n+2)(n+1)(n)(n-1)!}{(n-1)!}$

Simplificamos para $latex (n-1)!$ tanto no numerador quanto no denominador:

$$\frac{(n+2)(n+1)(n)(n-1)!}{(n-1)!}=(n+2)(n+1)(n)$$

Agora, expandimos a expressão para simplificar

$latex (n+2)(n+1)(n)={{n}^3}+3{{n}^2}+2n$