Permutações e combinações são formas de representar grupos de objetos selecionando-os de um conjunto e formando subconjuntos. Com permutações e combinações, podemos organizar certos grupos de dados. Em permutações, a ordem dos objetos importa e em combinações não importa.
ALGEBRA
Relevante para…
Conhecer as fórmulas de permutações e combinações e resolver exercícios.
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Conhecer as fórmulas de permutações e combinações e resolver exercícios.
O que é uma permutação?
Permutações referem-se à ação de organizar todos os membros de um conjunto em algum tipo de ordem ou sequência. Isso significa que se um conjunto já está ordenado, o processo de reorganização de seus elementos é denominado permutação.
Com permutações, a ordem dos elementos importa. Se nossa senha for 1234 e inserirmos os números 3241, a senha estará incorreta, pois temos os mesmos números, mas em uma ordem diferente. Isso significa que 3421 é uma permutação de 1234.
EXEMPLO
As permutações de 1, 2, 3, 4 são:
4321, 4312, 4123, 4132, 4213, 4231, 3412, 3421, 3214, 3241, 3124, 3142, 2413, 2431, 2314, 2341, 2134, 2143, 1432, 1423, 1324, 1342, 1234, 1243.
O que é uma combinação?
Uma permutação está relacionada à ação de organizar os elementos de uma coleção de forma que, ao contrário das permutações, a ordem da seleção não importe. Por exemplo, escolher uma equipe de 3 pessoas em um grupo de 20 pessoas é uma combinação.
EXEMPLO
Se temos os números 1, 2, 3, 4, 5 e temos que escolher 3 números, podemos obter os seguintes conjuntos:
- 123, 234, 345, 124, 125, 134, 145, 135, 235, 245.
Esses são os únicos conjuntos possíveis, pois, ao escolher 123, obteremos os mesmos números de 132, 213, 231, 321, 312.
Fórmulas de permutações e combinações
As fórmulas para permutações e combinações podem ter variações diferentes, mas as três mais importantes são:
Fórmula de permutações
Se tivermos uma coleção de n objetos, o número de maneiras que podemos escolher r deles é igual a:
| $latex _{n}{{P}_{r}}=\frac{{n!}}{{\left( {n-r} \right)!}}$ |
Fórmulas de combinação
Se não quisermos levar em conta as diferentes permutações dos elementos, podemos dividir a expressão acima pelo número de permutações de r, que é r!. Este resultado é chamado de combinações:
| $latex _{n}{{C}_{r}}=\frac{{_{n}{{P}_{r}}n!}}{{r!}}$ |
Reescrevendo esta fórmula, podemos obter a fórmula de combinações gerais:
| $latex _{n}{{C}_{r}}=\frac{{n!}}{{\left( {n-r} \right)!r!}}$ |
Aplicar as fórmulas de permutações e combinações
EXERCÍCIO 1
Encontre o número de combinações se $latex n=10$ e $latex r=3$.
Solução: Podemos simplesmente usar a fórmula das combinações, substituindo os valores $latex n=10$ e $latex r=3$:
$latex _{n}{{C}_{r}}=\frac{{n!}}{{\left( {n-r} \right)!r!}}$
$latex =\frac{{10!}}{{\left( {10-3} \right)!3!}}$
$latex =\frac{{10!}}{{\left( {7} \right)!3!}}$
$latex =\frac{{10\times 9\times 8\times 7!}}{{\left( 7 \right)!3!}}=120$
EXERCÍCIO 2
Encontre o número de permutações se $latex n=10$ e $latex r=3$.
Solução: Novamente, só temos que usar a fórmula de permutações e substituir os valores $latex n=10$ y $latex r=3$:
$latex _{n}{{P}_{r}}=\frac{{n!}}{{\left( {n-r} \right)!}}$
$latex =\frac{{10!}}{{\left( {10-3} \right)!}}$
$latex =\frac{{10!}}{{\left( {7} \right)!}}$
$latex =\frac{{10\times 9\times 8\times 7!}}{{\left( 7 \right)!}}=720$
EXERCÍCIO 3
Quantas maneiras existem para escolher um grupo de 5 pessoas de um grupo de 12 pessoas?
Solução: Este é um problema de combinações, então usamos a fórmula das combinações com os valores $latex n=12$ e $latex r=4$:
$latex _{n}{{C}_{r}}=\frac{{n!}}{{\left( {n-r} \right)!r!}}$
$latex =\frac{{12!}}{{\left( {12-4} \right)!4!}}$
$latex =\frac{{12!}}{{\left( {8} \right)!4!}}$
$latex =\frac{{12\times 11\times 10\times 9\times 8!}}{{\left( 8 \right)!4!}}=495$
EXERCÍCIO 4
Quantas maneiras existem de fazer uma lista de 4 sobremesas de um menu de 10 sobremesas?
Solução: Novamente, só temos que usar a fórmula de permutações e substituir os valores $latex n=10$ y $latex r=4$:
$latex _{n}{{P}_{r}}=\frac{{n!}}{{\left( {n-r} \right)!}}$
$latex =\frac{{10!}}{{\left( {10-4} \right)!}}$
$latex =\frac{{10!}}{{\left( {6} \right)!}}$
$latex =\frac{{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}}{{\left( 6 \right)!}}=5040$
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Perguntas frequentes
Qual é a principal diferença entre combinações e permutações?
Uma permutação é um ato de organizar os itens em ordem. As combinações são maneiras de selecionar objetos de um grupo de uma forma em que a ordem dos objetos não importa.
Quais são as fórmulas para combinações e permutações?
A fórmula para as permutações é $latex _{n}{{P}_{r}}=\frac{{n!}}{{\left( {n-r} \right)!}}$.
A fórmula para as combinações é $latex _{n}{{C}_{r}}=\frac{{n!}}{{\left( {n-r} \right)!r!}}$.
Qual é a relação entre permutações e combinações?
Permutações e combinações podem ser relacionadas com a fórmula $latex _{n}{{C}_{r}}=\frac{{_{n}{{P}_{r}}n!}}{{r!}}$.
Quais são os exemplos de permutações e combinações?
Organizar dígitos, letras, pessoas são exemplos de permutações.
Selecionar objetos de um menu, selecionar pessoas de um grupo são exemplos de combinações.
Veja também
Você quer aprender mais sobre permutações, combinações e racionalização? Olha para estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
