As expressões que possuem radicais, ou seja, raízes quadradas, raízes cúbicas ou outras no denominador, podem ser racionalizadas para remover esses radicais do denominador. Existem dois tipos principais de racionalização que podemos aplicar, dependendo se o denominador é monomial ou binomial.
Veremos esses dois tipos de racionalizações junto com exemplos para facilitar a compreensão.
O que é racionalização de denominadores?
A racionalização do denominador significa eliminar quaisquer radicais no denominador, como raízes quadradas, raízes cúbicas ou outros. A ideia principal é multiplicar a fração original por um valor apropriado, de modo que, após simplificar, o denominador não tenha mais radicais.
A ideia de racionalizar um denominador talvez faça mais sentido se considerarmos a definição de racionalizar. Lembre-se que os números 4, $latex \frac{1}{3}$ e 0,75 são conhecidos como números racionais, ou seja, esses números podem ser expressos como uma razão de dois números inteiros $latex \frac{4}{1}$, $latex \frac{1}{3}$ e $latex \frac{3}{4}$ respectivamente.
Alguns radicais são irracionais, pois não podem ser representados como a proporção de dois números inteiros. Portanto, o objetivo de racionalizar o denominador é mudar a expressão para que o denominador se torne um número racional.
Racionalização de denominadores com um termo
Vamos começar com a fração $latex \frac{1}{\sqrt{3}}$. Seu denominador é $latex \sqrt{3}$, que é um número irracional. Isso torna difícil encontrar o valor exato de $latex \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Sabemos que é possível multiplicar essa fração por 1 sem alterar seu valor. Também sabemos que $latex \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ é igual a 1, então podemos multiplicar por essa expressão:
$latex \frac{1}{{\sqrt{3}}}\times \frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}}$
$latex =\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{{3\times 3}}}}$
$latex =\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{9}}}$
$latex =\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
O denominador da fração não é mais um radical.
Decidimos multiplicar por $latex \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ porque sabemos que a raiz quadrada de um número multiplicado por si mesmo será igual a um número inteiro. Temos a expressão $latex \sqrt{x}\times \sqrt{x}=x$.
Portanto, para racionalizar expressões que têm apenas um termo que é um radical no denominador, multiplicamos o denominador e o numerador por esse radical e simplificamos. Podemos ver isso nos exemplos a seguir.
EXEMPLO 1
Racionalize o denominador da expressão $latex \frac{4}{{\sqrt{2}}}$.
Solução: Vemos que o denominador contém uma expressão radical, a raiz quadrada de 2. Eliminamos o radical multiplicando o denominador por ele mesmo, mas para não afetar a expressão, também multiplicamos o numerador. Então, nós multiplicamos pela expressão $latex \frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}}}$:
$latex \frac{4}{{\sqrt{2}}}\times \frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}}}$
$latex =\frac{{4\sqrt{2}}}{{\sqrt{4}}}$
Agora podemos simplificar o radical no denominador e simplificar a fração resultante, se possível:
$latex =\frac{{4\sqrt{2}}}{2}$
$latex =2\sqrt{2}$
EXEMPLO 2
Racionalize o denominador da expressão $latex \frac{5}{{\sqrt{3}}}$.
Solução: Nesse caso, temos a raiz quadrada de 3 no denominador. Para racionalizar, multiplicamos o denominador e o numerador pela raiz quadrada de 3. Em seguida, multiplicamos pela expressão $latex \frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}}$:
$latex \frac{5}{{\sqrt{3}}}\times \frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}}$
$latex =\frac{{5\sqrt{3}}}{{\sqrt{9}}}$
Agora podemos simplificar o radical no denominador:
$latex =\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$
Neste caso, não podemos mais simplificar.
EXEMPLO 3
Simplifica al racionalizar el denominador de la expresión $latex \frac{{5\sqrt{{10}}}}{{\sqrt{2}}}$.
Solución: Similar a los problemas anteriores, multiplicamos por la expresión $latex \frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}}}$:
$latex \frac{{5\sqrt{{10}}}}{{\sqrt{2}}}\times \frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}}}$
$latex =\frac{{5\sqrt{{20}}}}{{\sqrt{4}}}$
Ahora podemos simplificar el radical en el denominador. Pero también observamos que podemos reescribir al radical en el numerador para simplificar un poco:
$latex =\frac{{5\sqrt{{4\times 5}}}}{2}$
$latex =\frac{{5\times 2\sqrt{5}}}{2}$
$latex =5\sqrt{5}$
Experimente você mesmo – Resolva os exercícios
Quantos casos de racionalização de denominadores existem?
Podemos distinguir dois casos mais importantes de racionalização de denominadores com base no número de termos que a expressão possui no denominador. A racionalização dos denominadores com um termo que vimos anteriormente é um caso de racionalização dos denominadores.
| Irracional | Racional | |
| $latex \frac{1}{{\sqrt{3}}}$ | = | $latex \frac{{\sqrt{3}}}{3}$ |
| $latex \frac{{3+\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}}}$ | = | $latex \frac{{3\sqrt{2}+2}}{2}$ |
Adicionalmente, também temos a racionalização de denominadores com dois termos ou também conhecida como racionalização de denominadores com binômios.
| Irracional | Racional | |
| $latex \frac{4}{{\sqrt{6}+5}}$ | = | $latex \frac{{4\sqrt{6}-20}}{{-19}}$ |
| $latex \frac{2}{{3+\sqrt{3}}}$ | = | $latex \frac{{3-\sqrt{3}}}{3}$ |
Como racionalizar o denominador de um binômio?
Os denominadores nem sempre contêm um único termo, muitas vezes temos denominadores de um binômio. A seguir estão os passos necessárias para racionalizar o denominador de um binômio:
Passo 1: Para racionalizar o denominador, temos que multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Lembre-se de que, para encontrar o conjugado, basta alterar o sinal que fica entre os termos.
Passo 2: Faça a multiplicação distribuindo tanto o numerador quanto o denominador.
Passo 3: Combine termos semelhantes.
Passo 4: Simplifique os radicais.
Passo 5: Combine os termos semelhantes.
Passo 6: Reduza a fração, se possível.
EXEMPLO 1
Racionalize o denominador da expressão $latex \frac{3}{{\sqrt{3}+4}}$.
Passo 1: Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
$latex \frac{3}{{\sqrt{3}+4}}\times \frac{{\sqrt{3}-4}}{{\sqrt{3}-4}}$
Passo 2: Distribuímos a multiplicação:
$latex \frac{{3\sqrt{3}-12}}{{\sqrt{9}+4\sqrt{3}-4\sqrt{3}-16}}$
Passo 3: Combinamos termos semelhantes:
$latex \frac{{3\sqrt{3}-12}}{{\sqrt{9}-16}}$
Passo 4: Simplificamos os radicais:
$latex \frac{{3\sqrt{3}-12}}{{3-16}}$
Passo 5: Combinamos termos semelhantes:
$latex \frac{{3\sqrt{3}-12}}{{-13}}$
Passo 6: A fração não pode mais ser reduzida.
EXEMPLO 2
Racionalize o denominador da expressão $latex \frac{{3\sqrt{6}+2\sqrt{3}}}{{4\sqrt{6}+3\sqrt{3}}}$.
Passo 1: Começamos multiplicando o numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
$$\frac{{3\sqrt{6}+2\sqrt{3}}}{{4\sqrt{6}+3\sqrt{3}}}\times \frac{{4\sqrt{6}-3\sqrt{3}}}{{4\sqrt{6}-3\sqrt{3}}}$$
Passo 2: Aplicamos e distribuímos a multiplicação:
$$\frac{{12\sqrt{{36}}+8\sqrt{{18}}-9\sqrt{{18}}-6\sqrt{9}}}{{16\sqrt{{36}}+12\sqrt{{18}}-12\sqrt{{18}}-9\sqrt{9}}}$$
Passo 3: Combinamos termos semelhantes:
$latex \frac{{12\sqrt{{36}}-\sqrt{{18}}-6\sqrt{9}}}{{16\sqrt{{36}}-9\sqrt{9}}}$
Passo 4: Simplificamos os radicais:
$latex \frac{{12\left( 6 \right)-3\sqrt{2}-6\left( 3 \right)}}{{16\left( 6 \right)-9\left( 3 \right)}}$
$latex =\frac{{72-3\sqrt{2}-18}}{{96-27}}$
Passo 5: Combinamos termos semelhantes:
$latex \frac{{64-3\sqrt{2}}}{{69}}$
Passo 6: A fração não pode mais ser reduzida.
EXEMPLO 3
Racionalize o denominador da expressão $latex \frac{{2\sqrt{8}}}{{3\sqrt{6}-5\sqrt{2}}}$.
Passo 1: Começamos multiplicando o numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
$$\frac{{2\sqrt{8}}}{{3\sqrt{6}-5\sqrt{2}}}\times \frac{{3\sqrt{6}+5\sqrt{2}}}{{3\sqrt{6}+5\sqrt{2}}}$$
Passo 2: Aplicamos e distribuímos a multiplicação:
$$\frac{{12\sqrt{{36}}+8\sqrt{{18}}-9\sqrt{{18}}-6\sqrt{9}}}{{16\sqrt{{36}}+12\sqrt{{18}}-12\sqrt{{18}}-9\sqrt{9}}}$$
Passo 3: Combinamos termos semelhantes:
$latex \frac{{6\sqrt{{48}}+10\sqrt{{16}}}}{{9\sqrt{{36}}-25\sqrt{4}}}$
Passo 4: Simplificamos os radicais:
$latex \frac{{6\left( {4\sqrt{3}} \right)+10\left( 4 \right)}}{{9\left( 6 \right)-25\left( 2 \right)}}$
$latex =\frac{{24\sqrt{3}+40}}{{54-50}}$
Passo 5: Combinamos termos semelhantes:
$latex \frac{{24\sqrt{3}+40}}{4}$
Passo 6: Simplificamos a fração.
$latex 6\sqrt{3}+10$
Experimente você mesmo – Resolva os exercícios
Veja também
Você quer aprender mais sobre permutações, combinações e racionalização? Olha para estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
