Calculadora de Vetores
Soma A + B:
Módulo |A + B|:
Direção de A + B:
:
:
Cálculo:
Com esta calculadora você faz as operações básicas com vetores no plano e vê tudo desenhado. Some e subtraia vetores pelo método do paralelogramo ou de ponta a cauda, calcule o módulo, a direção e o vetor unitário, multiplique por um escalar, ache o produto escalar e o ângulo entre dois vetores, ou transforme módulo e ângulo em componentes.
Arraste a ponta de uma seta no gráfico para mudar o vetor, ou digite os valores. Abaixo da ferramenta estão as fórmulas, exemplos resolvidos e as dúvidas mais comuns.
Como usar a calculadora de vetores?
Passo 1: Escolha na lista o que você quer calcular: somar, subtrair, módulo e direção, produto escalar e ângulo, múltiplo por um escalar, ou componentes a partir do módulo e do ângulo.
Passo 2: Digite as componentes dos vetores. Pode usar vírgula ou ponto decimal, por exemplo 2,5 ou 2.5, e números negativos valem. Você também pode arrastar a ponta das setas.
Passo 3: Clique em Calcular ou aperte a tecla Enter. Os resultados se atualizam enquanto você digita.
Passo 4: Veja os resultados e o desenho. O quadro Cálculo mostra cada operação com os seus números.
Fórmulas de vetores no plano
Um vetor A = (Ax, Ay) tem um módulo, que é o seu comprimento, e uma direção, que é o ângulo θ que ele forma com o eixo x positivo, medido no sentido anti-horário:
| |A| = √(Ax² + Ay²) |
| θ = arctan(Ay ÷ Ax), ajustado ao quadrante (+180° quando Ax é negativa) |
O vetor unitário tem a mesma direção de A e módulo 1. Ele sai de dividir cada componente pelo módulo:
| û = A ÷ |A| = (Ax ÷ |A|, Ay ÷ |A|) |
A soma e a subtração são feitas componente a componente. No desenho, a soma é a diagonal do paralelogramo formado por A e B, ou o caminho de A seguido de B, colocados de ponta a cauda. A diferença A - B é a seta que vai da ponta de B até a ponta de A.
| A ± B = (Ax ± Bx, Ay ± By) |
Multiplicar por um escalar k estica o vetor (|k| maior que 1), encolhe (|k| menor que 1) e inverte o sentido quando k é negativo. O produto escalar dá um número, e com ele sai o ângulo entre os vetores:
| k·A = (k·Ax, k·Ay) |
| A · B = Ax·Bx + Ay·By = |A| |B| cos θ |
Se o produto escalar é 0, os vetores são perpendiculares. Se é positivo, o ângulo é agudo, e se é negativo, é obtuso. Para passar de módulo e ângulo para componentes:
| Ax = r cos θ, Ay = r sen θ |
Exemplos de operações com vetores
Exemplo 1: Somar A = (3, 2) e B = (1, 4)
A + B = (3 + 1, 2 + 4) = (4, 6)
|A + B| = √(4² + 6²) = √52 ≈ 7,211
θ = arctan(6 ÷ 4) ≈ 56,31°
No desenho, A e B colocados de ponta a cauda chegam ao mesmo ponto que a diagonal do paralelogramo.
Exemplo 2: Módulo, direção e vetor unitário de A = (3, 4)
|A| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = arctan(4 ÷ 3) ≈ 53,13°
û = (3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8)
Exemplo 3: Produto escalar e ângulo entre A = (2, 3) e B = (4, 1)
A · B = 2 × 4 + 3 × 1 = 11
cos θ = 11 ÷ (3,606 × 4,123) ≈ 0,7399
θ = arccos(0,73994) ≈ 42,27°
O produto escalar é positivo, então o ângulo é agudo.
Exemplo 4: Componentes a partir do módulo e do ângulo
Uma força de 10 N forma um ângulo de 30° com o eixo x.
Fx = 10 × cos(30°) ≈ 8,66
Fy = 10 × sen(30°) = 5
Tabela de componentes de um vetor unitário
Para um vetor de módulo 1, as componentes são (cos θ, sen θ). Multiplique pelo módulo para outros tamanhos.
| Ângulo θ | cos θ (x) | sen θ (y) |
|---|---|---|
| 0° | 1 | 0 |
| 30° | 0,866 | 0,5 |
| 45° | 0,7071 | 0,7071 |
| 60° | 0,5 | 0,866 |
| 90° | 0 | 1 |
| 120° | -0,5 | 0,866 |
| 135° | -0,7071 | 0,7071 |
| 150° | -0,866 | 0,5 |
| 180° | -1 | 0 |
| 270° | 0 | -1 |
Perguntas frequentes
Como se calcula o módulo de um vetor?
Eleve cada componente ao quadrado, some e extraia a raiz. Para (1, 1): |A| = √(1² + 1²) = √2 ≈ 1,414.
Como se somam e se subtraem vetores?
Componente a componente. Para (3, 2) e (1, 4) a soma é (4, 6) e a diferença A - B é (2, -2). Graficamente, a soma une os vetores de ponta a cauda.
O que significa o produto escalar?
Ele mede o quanto dois vetores apontam para o mesmo lado. Se é 0, eles são perpendiculares: (3, 2) · (-2, 3) = 0. Se é positivo, o ângulo entre eles é agudo, e se é negativo, obtuso.
Como se encontra o ângulo entre dois vetores?
Divida o produto escalar pelo produto dos módulos para obter o cosseno e aplique arccos. Também dá para usar o produto vetorial com atan2 para ter mais precisão, que é o que esta calculadora faz.
O que acontece ao multiplicar um vetor por um número negativo?
O vetor inverte o sentido e o comprimento é multiplicado pelo valor absoluto do número. Com k = -2 e A = (3, 2) o resultado é (-6, -4).
Para aprender mais
- Magnitude de um vetor 2D e 3D: fórmulas e exercícios
- Direção de um vetor 2D: fórmulas e exercícios
- Métodos para adicionar vetores: fórmulas e exemplos
- Produto escalar de dois vetores: exercícios resolvidos
- Vetores unitários: exercícios resolvidos
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