Os vetores unitários são vetores com uma magnitude de 1 e não têm unidades. Esses vetores são usados para descrever uma direção no espaço. Para encontrar o vetor unitário de um vetor, dividimos cada componente por sua magnitude.
A seguir, aprenderemos como calcular vetores unitários de vetores. Conheceremos as fórmulas que podemos usar e as aplicaremos para resolver alguns exercícios práticos.
Como encontrar o vector unitário de um vector?
Para encontrar o vetor unitário de um dado vetor, temos que normalizar o vetor original. Um vetor unitário é um vetor com magnitude (comprimento) de 1, apontando na mesma direção do vetor original.
Assim, podemos seguir dois passos simples para encontrar o vetor unitário:
Passo 1: Calcule a magnitude (comprimento) do vetor original: Para um vetor $latex \vec{V} = \langle x, y, z\rangle$, a magnitude é dada por:
$latex |V| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
Passo 2: Divida cada componente do vetor original por sua magnitude:
$$\hat{V} = \frac{\vec{V}}{|V|}$$
$$= \langle \frac{x}{|V|}, ~\frac{y}{|V|}, ~\frac{z}{|V|}\rangle$$
Nota: Usamos a notação (^) ou “chapéu” na letra que representa os vetores unitários. Isso nos permite distingui-los dos vetores normais.
10 Exercícios resolvidos sobre vectores unitários
EXERCÍCIO 1
Encontrar o vector da unidade do vector $latex \vec{A} = \langle 3, ~4 \rangle$.
Solução
Começamos por calcular a magnitude do vector:
$$|A| = \sqrt{3^2 + 4^2} =$$
$$ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
Agora, normalizamos para o vector original:
$$\hat{A} = \left\langle \frac{3}{5}, ~\frac{4}{5} \right\rangle $$
$$= \langle 0,6, ~0,8 \rangle$$
O vetor unitário de $latex \vec{A} = \langle 3, ~4 \rangle$ é $latex \hat{A} = \langle 0,6, ~0,8 \rangle$.
EXERCÍCIO 2
Qual é o vector unitário de $latex \vec{B} = \langle -6, ~8 \rangle$?
Solução
Calculando a magnitude do vector, temos:
$$|B| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} $$
$$= \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$
Normalizando para o vector, temos:
$$\hat{B} = \left\langle \frac{-6}{10}, ~\frac{8}{10} \right\rangle $$
$$= \langle -0,6, ~0,8 \rangle$$
O vetor unitário de $latex \vec{B} = \langle -6, ~8 \rangle$ é $latex \hat{B} = \langle -0,6, ~0,8 \rangle$.
EXERCÍCIO 3
Encontrar o vector unitário do vector $latex \vec{C} = \langle 5, ~12 \rangle$.
Solução
Começamos por calcular a magnitude do vector dado:
$$|C| = \sqrt{5^2 + 12^2} $$
$$= \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$
Agora, dividimos cada componente do vector pela sua magnitude:
$$ \hat{C} = \left\langle \frac{5}{13},~ \frac{12}{13} \right\rangle $$
$$= \langle \frac{5}{13}, ~\frac{12}{13} \rangle$$
$$ \approx \langle 0,385, ~0,923 \rangle$$
O vetor unitário de $latex \vec{C} = \langle 5,~ 12 \rangle$ é $latex \hat{C} \approx \langle 0,385, ~0,923 \rangle$.
EXERCÍCIO 4
Qual é o vector unitário do vector $latex \vec{A} = \langle 2,~ -4, ~1 \rangle$?
Solução
A magnitude do vector $latex \vec{A}$ é:
$$|A| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} $$
$$= \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}$$
Normalizando para o vector, temos:
$$\hat{A} = \left\langle \frac{2}{\sqrt{21}}, ~\frac{-4}{\sqrt{21}}, ~\frac{1}{\sqrt{21}} \right\rangle $$
$$\approx \langle 0,44, ~-0,88, ~0,22 \rangle$$
O vetor unitário de $latex \vec{A} = \langle 2, ~-4, ~1 \rangle$ é $latex \hat{A} \approx \langle 0,44, ~-0,88,~ 0,22 \rangle$.
EXERCÍCIO 5
Se tivermos o vetor $latex \vec{B} = \langle -3, ~6,~ 2 \rangle$, encontre seu vetor unitário.
Solução
A magnitude do vector $latex \vec{B}$ é:
$$|B| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + 2^2} $$
$$= \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$$
Quando normalizamos o vector, temos:
$$\hat{B} = \left\langle \frac{-3}{7}, ~\frac{6}{7}, ~\frac{2}{7} \right\rangle$$
$$ \approx \langle -0,43, ~0,86,~ 0,29 \rangle$$
O vetor unitário de $latex \vec{B} = \langle -3, ~6, ~2 \rangle$ é $latex \hat{B} \approx \langle -0,43,~ 0,86,~ 0,29 \rangle$.
.
EXERCÍCIO 6
Encontrar o vector unitário do vector $latex \vec{D} = \langle 4,~ -8, ~4 \rangle$.
Solução
Começamos por encontrar a magnitude do vector D:
$$|D| = \sqrt{4^2 + (-8)^2 + 4^2} $$
$$= \sqrt{16 + 64 + 16} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$$
Agora, dividimos cada componente pela magnitude do vector:
$$\hat{D} = \left\langle \frac{4}{4\sqrt{6}}, ~\frac{-8}{4\sqrt{6}}, ~\frac{4}{4\sqrt{6}} \right\rangle $$
$$= \langle \frac{1}{\sqrt{6}},~ \frac{-2}{\sqrt{6}},~ \frac{1}{\sqrt{6}} \rangle $$
$$\approx \langle 0,41, ~-0,82,~ 0,41 \rangle$$
O vetor unitário de $latex \vec{D} = \langle 4,~ -8,~ 4 \rangle$ é $latex \hat{D} \approx \langle 0,41,~ -0,82,~ 0,41 \rangle$.
EXERCÍCIO 7
Qual é o vetor unitário do vetor $latex \vec{E} = \langle -6, ~3, ~9 \rangle$?
Solução
Encontramos a magnitude do vector:
$$|E| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2 + 9^2} $$
$$= \sqrt{36 + 9 + 81} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$$
Quando dividimos cada componente pela sua magnitude, temos:
$$\hat{E} = \left\langle \frac{-6}{3\sqrt{14}}, ~\frac{3}{3\sqrt{14}},~ \frac{9}{3\sqrt{14}} \right\rangle$$
$$ = \langle \frac{-2}{\sqrt{14}}, ~\frac{1}{\sqrt{14}}, ~\frac{3}{\sqrt{14}} \rangle$$
$$ \approx \langle -0,53,~ 0,27, ~0,80 \rangle$$
O vetor unitário de $latex \vec{E} = \langle -6, ~3, ~9 \rangle$ é $latex \hat{E} \approx \langle -0,53, ~0,27,~ 0,80 \rangle$.
EXERCÍCIO 8
Encontre o vetor unitário do vetor $latex \vec{G} = \langle 5, ~10, ~-5 \rangle$.
Solução
A magnitude do vector dado é:
$$|G| = \sqrt{5^2 + 10^2 + (-5)^2} $$
$$= \sqrt{25 + 100 + 25} = \sqrt{150} = 5\sqrt{6}$$
Normalizando o vector, temos:
$$\hat{G} = \left\langle \frac{5}{5\sqrt{6}},~ \frac{10}{5\sqrt{6}},~ \frac{-5}{5\sqrt{6}} \right\rangle $$
$$= \langle \frac{1}{\sqrt{6}}, ~\frac{2}{\sqrt{6}},~ \frac{-1}{\sqrt{6}} \rangle$$
$$ \approx \langle 0,41,~ 0,82, ~-0,41 \rangle$$
O vetor unitário de $latex \vec{G} = \langle 5,~ 10, ~-5 \rangle$ é $latex \hat{G} \approx \langle 0,41,~ 0,82,~ -0,41 \rangle$.
EXERCÍCIO 9
Se tivermos o vector $latex \vec{A} = \langle 2,~ 4,~ -4 \rangle$, encontre o seu vector unitário.
Solução
Encontramos a magnitude do vector A:
$$|A| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2} $$
$$= \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$$
Dividimos cada componente do vector pela sua magnitude:
$$\hat{A} = \left\langle \frac{2}{6},~ \frac{4}{6},~ \frac{-4}{6} \right\rangle $$
$$= \langle \frac{1}{3}, ~\frac{2}{3}, ~-\frac{2}{3} \rangle $$
$$\approx \langle 0,333, ~0,667, ~-0,667 \rangle$$
O vetor unitário de $latex \vec{A} = \langle 2, ~4,~ -4 \rangle$ é $latex \hat{A} \approx \langle 0,333, ~0,667,~ -0,667 \rangle$.
EXERCÍCIO 10
Encontrar o vector unitário do vector $latex \vec{B} = \langle -3, ~6, ~9 \rangle$.
Solução
Calculamos a magnitude do vector dado:
$$|B| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + 9^2} $$
$$= \sqrt{9 + 36 + 81} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$$
Normalizando para o vector, temos:
$$\hat{B} = \left\langle \frac{-3}{3\sqrt{14}}, ~\frac{6}{3\sqrt{14}},~ \frac{9}{3\sqrt{14}} \right\rangle $$
$$= \langle \frac{-1}{\sqrt{14}}, ~\frac{2}{\sqrt{14}},~ \frac{3}{\sqrt{14}} \rangle $$
$$\approx \langle -0,27,~ 0,53, ~0,80 \rangle$$
O vetor unitário de $latex \vec{B} = \langle -3, ~6, ~9 \rangle$ é $latex \hat{B} \approx \langle -0,27,~ 0,53, ~0,80 \rangle$.
Vetores unitários – Exercícios para resolver
Veja também
Interessado em aprender mais sobre vetores? Você pode visitar estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
