Vetores unitários – Exercícios resolvidos

Começamos por calcular a magnitude do vector:

$$|A| = \sqrt{3^2 + 4^2} =$$

$$ \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Agora, normalizamos para o vector original:

$$\hat{A} = \left\langle \frac{3}{5}, ~\frac{4}{5} \right\rangle $$

$$= \langle 0,6, ~0,8 \rangle$$

O vetor unitário de $latex \vec{A} = \langle 3, ~4 \rangle$ é $latex \hat{A} = \langle 0,6, ~0,8 \rangle$.

Calculando a magnitude do vector, temos:

$$|B| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} $$

$$= \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

Normalizando para o vector, temos:

$$\hat{B} = \left\langle \frac{-6}{10}, ~\frac{8}{10} \right\rangle $$

$$= \langle -0,6, ~0,8 \rangle$$

O vetor unitário de $latex \vec{B} = \langle -6, ~8 \rangle$ é $latex \hat{B} = \langle -0,6, ~0,8 \rangle$.

Começamos por calcular a magnitude do vector dado:

$$|C| = \sqrt{5^2 + 12^2} $$

$$= \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

Agora, dividimos cada componente do vector pela sua magnitude:

$$ \hat{C} = \left\langle \frac{5}{13},~ \frac{12}{13} \right\rangle $$

$$= \langle \frac{5}{13}, ~\frac{12}{13} \rangle$$

$$ \approx \langle 0,385, ~0,923 \rangle$$

O vetor unitário de $latex \vec{C} = \langle 5,~ 12 \rangle$ é $latex \hat{C} \approx \langle 0,385, ~0,923 \rangle$.

A magnitude do vector $latex \vec{A}$ é:

$$|A| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} $$

$$= \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}$$

Normalizando para o vector, temos:

$$\hat{A} = \left\langle \frac{2}{\sqrt{21}}, ~\frac{-4}{\sqrt{21}}, ~\frac{1}{\sqrt{21}} \right\rangle $$

$$\approx \langle 0,44, ~-0,88, ~0,22 \rangle$$

O vetor unitário de $latex \vec{A} = \langle 2, ~-4, ~1 \rangle$ é $latex \hat{A} \approx \langle 0,44, ~-0,88,~ 0,22 \rangle$.

A magnitude do vector $latex \vec{B}$ é:

$$|B| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + 2^2} $$

$$= \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$$

Quando normalizamos o vector, temos:

$$\hat{B} = \left\langle \frac{-3}{7}, ~\frac{6}{7}, ~\frac{2}{7} \right\rangle$$

$$ \approx \langle -0,43, ~0,86,~ 0,29 \rangle$$

O vetor unitário de $latex \vec{B} = \langle -3, ~6, ~2 \rangle$ é $latex \hat{B} \approx \langle -0,43,~ 0,86,~ 0,29 \rangle$.

.

Começamos por encontrar a magnitude do vector D:

$$|D| = \sqrt{4^2 + (-8)^2 + 4^2} $$

$$= \sqrt{16 + 64 + 16} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$$

Agora, dividimos cada componente pela magnitude do vector:

$$\hat{D} = \left\langle \frac{4}{4\sqrt{6}}, ~\frac{-8}{4\sqrt{6}}, ~\frac{4}{4\sqrt{6}} \right\rangle $$

$$= \langle \frac{1}{\sqrt{6}},~ \frac{-2}{\sqrt{6}},~ \frac{1}{\sqrt{6}} \rangle $$

$$\approx \langle 0,41, ~-0,82,~ 0,41 \rangle$$

O vetor unitário de $latex \vec{D} = \langle 4,~ -8,~ 4 \rangle$ é $latex \hat{D} \approx \langle 0,41,~ -0,82,~ 0,41 \rangle$.

Encontramos a magnitude do vector:

$$|E| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2 + 9^2} $$

$$= \sqrt{36 + 9 + 81} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$$

Quando dividimos cada componente pela sua magnitude, temos:

$$\hat{E} = \left\langle \frac{-6}{3\sqrt{14}}, ~\frac{3}{3\sqrt{14}},~ \frac{9}{3\sqrt{14}} \right\rangle$$

$$ = \langle \frac{-2}{\sqrt{14}}, ~\frac{1}{\sqrt{14}}, ~\frac{3}{\sqrt{14}} \rangle$$

$$ \approx \langle -0,53,~ 0,27, ~0,80 \rangle$$

O vetor unitário de $latex \vec{E} = \langle -6, ~3, ~9 \rangle$ é $latex \hat{E} \approx \langle -0,53, ~0,27,~ 0,80 \rangle$.

A magnitude do vector dado é:

$$|G| = \sqrt{5^2 + 10^2 + (-5)^2} $$

$$= \sqrt{25 + 100 + 25} = \sqrt{150} = 5\sqrt{6}$$

Normalizando o vector, temos:

$$\hat{G} = \left\langle \frac{5}{5\sqrt{6}},~ \frac{10}{5\sqrt{6}},~ \frac{-5}{5\sqrt{6}} \right\rangle $$

$$= \langle \frac{1}{\sqrt{6}}, ~\frac{2}{\sqrt{6}},~ \frac{-1}{\sqrt{6}} \rangle$$

$$ \approx \langle 0,41,~ 0,82, ~-0,41 \rangle$$

O vetor unitário de $latex \vec{G} = \langle 5,~ 10, ~-5 \rangle$ é $latex \hat{G} \approx \langle 0,41,~ 0,82,~ -0,41 \rangle$.

Encontramos a magnitude do vector A:

$$|A| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2} $$

$$= \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$$

Dividimos cada componente do vector pela sua magnitude:

$$\hat{A} = \left\langle \frac{2}{6},~ \frac{4}{6},~ \frac{-4}{6} \right\rangle $$

$$= \langle \frac{1}{3}, ~\frac{2}{3}, ~-\frac{2}{3} \rangle $$

$$\approx \langle 0,333, ~0,667, ~-0,667 \rangle$$

O vetor unitário de $latex \vec{A} = \langle 2, ~4,~ -4 \rangle$ é $latex \hat{A} \approx \langle 0,333, ~0,667,~ -0,667 \rangle$.

Calculamos a magnitude do vector dado:

$$|B| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + 9^2} $$

$$= \sqrt{9 + 36 + 81} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$$

Normalizando para o vector, temos:

$$\hat{B} = \left\langle \frac{-3}{3\sqrt{14}}, ~\frac{6}{3\sqrt{14}},~ \frac{9}{3\sqrt{14}} \right\rangle $$

$$= \langle \frac{-1}{\sqrt{14}}, ~\frac{2}{\sqrt{14}},~ \frac{3}{\sqrt{14}} \rangle $$

$$\approx \langle -0,27,~ 0,53, ~0,80 \rangle$$

O vetor unitário de $latex \vec{B} = \langle -3, ~6, ~9 \rangle$ é $latex \hat{B} \approx \langle -0,27,~ 0,53, ~0,80 \rangle$.