Magnitude de um vetor 2D e 3D – Fórmulas e exercícios

Temos os seguintes componentes:

• $latex A_{x}=3$
• $latex A_{y}=4$

Agora, usamos esses componentes na fórmula para a magnitude de um vetor 2D:

$latex |A| = \sqrt{A_{x}^2+A_{y}^2}$

$latex = \sqrt{3^2 + 4^2} $

$latex = \sqrt{9 + 16}$

$latex = \sqrt{25}$

$latex |A| = 5$

Podemos observar o seguinte:

• $latex B_{x}=-6$
• $latex B_{y}=8$

Aplicando a fórmula de magnitude com os componentes dados, temos:

$latex |B| = \sqrt{A_{x}^2+A_{y}^2}$

$latex = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} $

$latex = \sqrt{36 + 64}$

$latex = \sqrt{100}$

$latex |B| = 10$

Podemos observar o seguinte:

• $latex C_{x}=-5$
• $latex C_{y}=12$

Usamos a fórmula para a magnitude de um vetor 2D:

$latex |C| = \sqrt{C_{x}^2+C_{y}^2}$

$latex = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} $

$latex = \sqrt{25 + 144}$

$latex = \sqrt{169}$

$latex |C| = 13$

Podemos representar a base da montanha pela origem (0, 0) em um sistema de coordenadas 2D. O movimento do caminhante pode ser representado como um vetor 2D, cujos componentes são a distância percorrida na direção leste (x) e a distância percorrida na direção norte (y).

Então temos:

• $latex V_{x}=6$
• $latex V_{y}=3$

Usando esses componentes na fórmula de magnitude, temos:

$latex |V| = \sqrt{V_{x}^2+V_{y}^2}$

$latex = \sqrt{6^2 + 3^2} $

$latex = \sqrt{36 + 9}$

$latex = \sqrt{45}$

$latex |V| = 6,71$

A distância entre a base e o acampamento é de 6,71 quilômetros.

Representamos o porto pela origem (0, 0). O movimento do navio pode ser representado como um vetor, cujas componentes são a distância percorrida na direção oeste (x) e a distância percorrida na direção sul (y).

Como o navio está se movendo para o oeste ($latex x$ negativo) e para o sul ($latex y$ negativo), os componentes do vetor são negativos. Então,

• $latex V_{x}=-10$
• $latex V_{y}=-6$

Aplicando a fórmula da magnitude:

$latex |V| = \sqrt{V_{x}^2+V_{y}^2}$

$latex = \sqrt{(-10)^2 + (-6)^2} $

$latex = \sqrt{100 + 36}$

$latex = \sqrt{136}$

$latex |V| = 11,66$

A menor distância entre a posição final do navio e o porto é de aproximadamente 11,66 quilômetros.

Podemos observar o seguinte:

• $latex A_{x}=1$
• $latex A_{y}=2$
• $latex A_{z}=2$

Aplicando a fórmula da magnitude de um vetor 3D, temos:

$latex |A| = \sqrt{A_{x}^2+A_{y}^2+A_{z}^2}$

$latex = \sqrt{1^2 + 2^2+2^2} $

$latex = \sqrt{1+4+4}$

$latex = \sqrt{9}$

$latex |A| = 3$

Podemos observar as seguintes informações:

• $latex B_{x}=-3$
• $latex B_{y}=4$
• $latex B_{z}=2$

Aplicando a fórmula da magnitude de um vetor 3D, temos:

$latex |B| = \sqrt{B_{x}^2+B_{y}^2+B_{z}^2}$

$latex = \sqrt{(-3)^2 + 4^2+2} $

$latex = \sqrt{9 + 16+4}$

$latex = \sqrt{29}$

$latex |B| = 5,385$

Temos os seguintes componentes:

• $latex C_{x}=5$
• $latex C_{y}=-6$
• $latex C_{z}=8$

Usando a fórmula da magnitude, temos:

$latex |C| = \sqrt{C_{x}^2+C_{y}^2+C_{z}^2}$

$latex = \sqrt{5^2 + (-6)^2+8^2} $

$latex = \sqrt{25 +36+64}$

$latex = \sqrt{125}$

$latex |C| = 11,18$

O movimento do drone pode ser representado como um vetor 3D, onde os componentes correspondem às distâncias percorridas para leste, norte e para cima:

Assim, temos estes componentes:

• $latex V_{x}=30$
• $latex V_{y}=40$
• $latex V_{z}=50$

Agora, usamos a fórmula para a magnitude de um vetor 3D:

$latex |V| = \sqrt{V_{x}^2+V_{y}^2+V_{z}^2}$

$latex = \sqrt{30^2 + 40^2+50^2} $

$latex = \sqrt{900 + 1600+2500}$

$latex = \sqrt{5000}$

$latex |V| = 70,71$

A distância em linha reta entre as posições inicial e final do drone é de aproximadamente 70,71 metros.

O movimento do plano pode ser representado como um vetor 3D:

• $latex V_{x}=-40$
• $latex V_{y}=-32$
• $latex V_{z}=5$

Agora, calculamos a magnitude com os componentes dados:

$latex |V| = \sqrt{V_{x}^2+V_{y}^2+V_{z}^2}$

$latex = \sqrt{(-40)^2 + (-32)^2+5^2} $

$latex = \sqrt{1600 + 1024+25}$

$latex = \sqrt{2649}$

$latex |V| = 51,47$

A distância entre a posição inicial e final do avião é de 51,47 quilômetros.