O cálculo de magnitude de um vetor nos ajuda a quantificar o tamanho ou comprimento do vetor no espaço. Para encontrar a magnitude de um vetor 2D ou 3D, temos que usar o teorema de Pitágoras com os componentes correspondentes.
Neste artigo, aprenderemos as fórmulas para calcular a magnitude dos vetores 2D e 3D, fornecendo, assim, uma base sólida para uma maior exploração dos vetores. Veremos vários exercícios resolvidos.
Como calcular a magnitude de um vetor?
Para calcular a magnitude de um vetor, podemos usar os componentes do vetor em fórmulas padrão derivadas do teorema de Pitágoras.
Magnitude de um vetor 2D
Considere o seguinte vetor 2D com os componentes $latex A_{x}$ e $latex A_{y}$.
Para encontrar a magnitude desse vetor, podemos usar o teorema de Pitágoras, que afirma que em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados.
Nesse caso, a hipotenusa é a magnitude, ou seja, $latex |A|$. Os dois lados são $latex A_{x}$ e $latex A_{y}$:
$latex |A|^2=A_{x}^2+A_{y}^2$
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, encontramos a magnitude do vetor 2D:
$latex |A| = \sqrt{A_{x}^2+A_{y}^2}$
Magnitude de um vetor 3D
Agora considere um vetor 3D com os componentes $latex A_{x}$, $latex A_{y}$ e $latex A_{z}$.
Podemos usar a mesma lógica do vetor 2D, mas desta vez, usamos o teorema de Pitágoras em 3D. Então temos:
$latex |A|^2=A_{x}^2+A_{y}^2+A_{z}^2$
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, encontramos a magnitude do vetor 3D:
$latex |A| = \sqrt{A_{x}^2+A_{y}^2+A_{z}^2}$
10 Exercícios resolvidos da magnitude de um vetor
EXERCÍCIO 1
Encontre a magnitude do vetor $latex \vec{A} = 3i+4j$.
Solução
Temos os seguintes componentes:
- $latex A_{x}=3$
- $latex A_{y}=4$
Agora, usamos esses componentes na fórmula para a magnitude de um vetor 2D:
$latex |A| = \sqrt{A_{x}^2+A_{y}^2}$
$latex = \sqrt{3^2 + 4^2} $
$latex = \sqrt{9 + 16}$
$latex = \sqrt{25}$
$latex |A| = 5$
EXERCÍCIO 2
Qual é a magnitude do vetor $latex \vec{B} = -6i+8j$?
Solução
Podemos observar o seguinte:
- $latex B_{x}=-6$
- $latex B_{y}=8$
Aplicando a fórmula de magnitude com os componentes dados, temos:
$latex |B| = \sqrt{A_{x}^2+A_{y}^2}$
$latex = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} $
$latex = \sqrt{36 + 64}$
$latex = \sqrt{100}$
$latex |B| = 10$
EXERCÍCIO 3
Determine a magnitude do vetor $latex \vec{C} = -5i +12j$.
Solução
Podemos observar o seguinte:
- $latex C_{x}=-5$
- $latex C_{y}=12$
Usamos a fórmula para a magnitude de um vetor 2D:
$latex |C| = \sqrt{C_{x}^2+C_{y}^2}$
$latex = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} $
$latex = \sqrt{25 + 144}$
$latex = \sqrt{169}$
$latex |C| = 13$
EXERCÍCIO 4
Um caminhante começa na base de uma montanha e caminha 6 quilômetros para o leste e depois 3 quilômetros para o norte para chegar a um acampamento. Qual é a distância em linha reta entre a base e o acampamento?
Solução
Podemos representar a base da montanha pela origem (0, 0) em um sistema de coordenadas 2D. O movimento do caminhante pode ser representado como um vetor 2D, cujos componentes são a distância percorrida na direção leste (x) e a distância percorrida na direção norte (y).
Então temos:
- $latex V_{x}=6$
- $latex V_{y}=3$
Usando esses componentes na fórmula de magnitude, temos:
$latex |V| = \sqrt{V_{x}^2+V_{y}^2}$
$latex = \sqrt{6^2 + 3^2} $
$latex = \sqrt{36 + 9}$
$latex = \sqrt{45}$
$latex |V| = 6,71$
A distância entre a base e o acampamento é de 6,71 quilômetros.
EXERCÍCIO 5
Um navio navega 10 quilômetros a oeste e depois 6 quilômetros ao sul de um porto. Qual é a menor distância entre a posição final do navio e o porto?
Solução
Representamos o porto pela origem (0, 0). O movimento do navio pode ser representado como um vetor, cujas componentes são a distância percorrida na direção oeste (x) e a distância percorrida na direção sul (y).
Como o navio está se movendo para o oeste ($latex x$ negativo) e para o sul ($latex y$ negativo), os componentes do vetor são negativos. Então,
- $latex V_{x}=-10$
- $latex V_{y}=-6$
Aplicando a fórmula da magnitude:
$latex |V| = \sqrt{V_{x}^2+V_{y}^2}$
$latex = \sqrt{(-10)^2 + (-6)^2} $
$latex = \sqrt{100 + 36}$
$latex = \sqrt{136}$
$latex |V| = 11,66$
A menor distância entre a posição final do navio e o porto é de aproximadamente 11,66 quilômetros.
EXERCÍCIO 6
Encontre a magnitude do vetor $latex \vec{A} = 1i + 2j +2k$.
Solução
Podemos observar o seguinte:
- $latex A_{x}=1$
- $latex A_{y}=2$
- $latex A_{z}=2$
Aplicando a fórmula da magnitude de um vetor 3D, temos:
$latex |A| = \sqrt{A_{x}^2+A_{y}^2+A_{z}^2}$
$latex = \sqrt{1^2 + 2^2+2^2} $
$latex = \sqrt{1+4+4}$
$latex = \sqrt{9}$
$latex |A| = 3$
EXERCÍCIO 7
Se temos o vetor $latex \vec{B} = -3i+ 4j+ 2k$, qual é a sua magnitude?
Solução
Podemos observar as seguintes informações:
- $latex B_{x}=-3$
- $latex B_{y}=4$
- $latex B_{z}=2$
Aplicando a fórmula da magnitude de um vetor 3D, temos:
$latex |B| = \sqrt{B_{x}^2+B_{y}^2+B_{z}^2}$
$latex = \sqrt{(-3)^2 + 4^2+2} $
$latex = \sqrt{9 + 16+4}$
$latex = \sqrt{29}$
$latex |B| = 5,385$
EXERCÍCIO 8
Encontre a magnitude do vetor $latex \vec{C} = 5i -6j+ 8k$.
Solução
Temos os seguintes componentes:
- $latex C_{x}=5$
- $latex C_{y}=-6$
- $latex C_{z}=8$
Usando a fórmula da magnitude, temos:
$latex |C| = \sqrt{C_{x}^2+C_{y}^2+C_{z}^2}$
$latex = \sqrt{5^2 + (-6)^2+8^2} $
$latex = \sqrt{25 +36+64}$
$latex = \sqrt{125}$
$latex |C| = 11,18$
EXERCÍCIO 9
Um drone decola de um local (0, 0, 0) em um sistema de coordenadas 3D. Ele voa 30 metros para o leste, depois 40 metros para o norte e, finalmente, sobe 50 metros verticalmente. Qual é a distância em linha reta entre as posições inicial e final do drone?
Solução
O movimento do drone pode ser representado como um vetor 3D, onde os componentes correspondem às distâncias percorridas para leste, norte e para cima:
Assim, temos estes componentes:
- $latex V_{x}=30$
- $latex V_{y}=40$
- $latex V_{z}=50$
Agora, usamos a fórmula para a magnitude de um vetor 3D:
$latex |V| = \sqrt{V_{x}^2+V_{y}^2+V_{z}^2}$
$latex = \sqrt{30^2 + 40^2+50^2} $
$latex = \sqrt{900 + 1600+2500}$
$latex = \sqrt{5000}$
$latex |V| = 70,71$
A distância em linha reta entre as posições inicial e final do drone é de aproximadamente 70,71 metros.
EXERCÍCIO 10
Um avião voa a uma altitude constante de 5 quilômetros. Voa 32 quilômetros ao sul e 40 quilômetros ao oeste. Qual é a distância em linha reta entre as posições inicial e final do avião?
Solução
O movimento do plano pode ser representado como um vetor 3D:
- $latex V_{x}=-40$
- $latex V_{y}=-32$
- $latex V_{z}=5$
Agora, calculamos a magnitude com os componentes dados:
$latex |V| = \sqrt{V_{x}^2+V_{y}^2+V_{z}^2}$
$latex = \sqrt{(-40)^2 + (-32)^2+5^2} $
$latex = \sqrt{1600 + 1024+25}$
$latex = \sqrt{2649}$
$latex |V| = 51,47$
A distância entre a posição inicial e final do avião é de 51,47 quilômetros.
Magnitude de vectores 2D e 3D – Exercícios para resolver
Qual é a magnitude do vetor $latex \vec{A}=-8i+7j-9k$?
Escreva a resposta usando duas casas decimais.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
