Direção de um vetor 2D – Fórmulas e exercícios

A direção de um vetor é a orientação do vetor em um sistema de coordenadas, geralmente descrita pelo ângulo que ele faz com um dos eixos. Para encontrar a direção de um vetor 2D, calculamos a tangente inversa da componente y do vetor sobre o componente x.

Neste artigo, conheceremos a fórmula que podemos aplicar para encontrar a direção de um vetor. Aprenderemos a derivar esta fórmula e a usá-la para resolver alguns exercícios práticos.

FÍSICA
Fórmula para o ângulo ou direção de um vetor 2D

Relevante para

Aprender sobre a direção de um vetor com exercícios.

Ver exercícios

FÍSICA
Fórmula para o ângulo ou direção de um vetor 2D

Relevante para

Aprender sobre a direção de um vetor com exercícios.

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Como calcular a direção de um vetor 2D?

Em um sistema de coordenadas cartesianas 2D (plano $latex x, ~y$), a direção de um vetor pode ser especificada pelo ângulo que ele faz com o eixo $latex x$ positivo.

Esse ângulo é normalmente medido no sentido anti-horário, com a faixa de ângulos possíveis de 0° a 360° (0 a 2π radianos).

Para calcular o ângulo de um vetor usando seus componentes, podemos usar trigonometria, especificamente, a função tangente.

Suponha que temos o vetor $latex \vec{V}$ com os componentes $latex V_{x}$ e $latex V_{y}$ e o ângulo $latex \theta$:

Diagrama de ângulo ou direção de um vetor 2D

Vemos que temos um triângulo retângulo, onde o vetor $latex \vec{V}$ é a hipotenusa. O lado adjacente (base) é igual a $latex V_{x}$, e o lado oposto (altura) é $latex V_{y}$.

Conforme a definição da função tangente em um triângulo retângulo, temos:

$$\tan(\theta) = \frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}$$

Neste caso,

$$\tan(\theta) = \frac{V_{y}}{V_{x}}$$

Para encontrar θ, temos que pegar a tangente inversa (também chamada de arco tangente ou atan) de ambos os lados da equação. Então,

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{V_{y}}{ V_{x}}\right)$$

É importante observar em qual quadrante o vetor está, pois a função tangente inversa retorna um resultado entre $latex -\frac{\pi}{2}$ e $latex \frac{\pi}{2 }$ (-90° a 90°).

Então, usamos a tabela a seguir para obter o ângulo correto:

QuadranteValor de $latex \tan^{-1}$
IUsamos o valor da calculadora
IIAdicionamos 180° (π) ao valor da calculadora
IIIAdicionamos 180° (π) ao valor da calculadora
IVAdicionamos 360° (2π) ao valor da calculadora

Exercícios resolvidos da direção de um vetor

EXERCÍCIO 1

Encontre o ângulo $latex \theta $ do vetor $latex \vec{A}$ com componentes $latex A_{x} = 3$ e $latex A_{y} = 4$.

Solução

EXERCÍCIO 2

Qual é o ângulo $latex \theta $ do vetor $latex \vec{B}$ com componentes $latex B_{x} = -5$ e $latex B_{y} = 12$?

Solução

EXERCÍCIO 3

Calcula o ângulo $latex \theta $ do vetor $latex \vec{C}$ com as componentes $latex C_{x} = -6$ e $latex C_{y} = -8$.

Solução

EXERCÍCIO 4

Qual é o ângulo $latex \theta $ do vetor $latex \vec{D}$ com componentes $latex D_{x} = 7$ e $latex D_{y} = -3$?

Solução

EXERCÍCIO 5

Se um vetor tem as componentes $latex A_{x} = -10$ e $latex A_{y} = 0$, qual é o seu ângulo $latex \theta$?

Solução

EXERCÍCIO 6

Encontre o ângulo $latex \theta $ do vetor $latex \vec{G}$ com os componentes $latex G_{x} = 8$ e $latex G_{y} = 15$.

Solução

EXERCÍCIO 7

Qual é o ângulo $latex \theta $ do vetor $latex \vec{H}$ com componentes $latex H_{x} = -12$ e $latex H_{y} = -5$?

Solução

EXERCÍCIO 8

Um avião está voando para o norte a uma velocidade de 150 km/h. Há um forte vento de oeste que empurra o avião para leste com uma velocidade de 40 km/h. Qual é a direção do avião em relação ao solo?

Solução

Direção de vetores 2D – Exercícios para resolver

Prática de direção do vetor
Logo
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Encontre o ângulo θ de um vetor com os componentes $latex V_{x}=0$ e $latex V_{y}=-14$.

Escreva o ângulo em graus.

$latex \theta=$

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Foto de perfil do autor Jefferson Huera Guzman

Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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