Para adicionar duas ou mais quantidades vetoriais, precisamos de um conjunto de operações que não seja a aritmética comum. Podemos usar três métodos principais para adicionar dois vetores: o método do polígono, o método do paralelogramo e o método dos componentes.
A seguir, vamos aprender sobre estes três métodos para adicionar vectores. Além disso, veremos alguns exemplos para aplicar os conceitos.
Adicionando vetores com o método do polígono
Suponha que um objeto teve um deslocamento de $latex \vec{A}$ seguido por um segundo deslocamento de $latex \vec{B}$, como mostrado no diagrama abaixo:
O resultado final é o mesmo como se o objeto tivesse começado no mesmo ponto de partida e feito um único deslocamento $latex \vec{C}$.
O deslocamento $latex \vec{C}$ é a soma dos vetores $latex \vec{A}$ e $latex \vec{B}$ sendo expresso simbolicamente como:
$latex \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$
A adição de dois vetores não é a mesma operação que a adição de duas quantidades escalares, como 3+5=8.
Para adicionar dois vetores usando o método poligonal, colocamos a base do segundo vetor na cabeça ou ponta do primeiro vetor.
Se executarmos os deslocamentos $latex \vec{A}$ e $latex \vec{B}$ na ordem inversa, ou seja, $latex \vec{B}$ primeiro e $latex \vec{A}$ segundo, o resultado é o mesmo:
Portanto, podemos observar que a ordem dos termos em uma soma vetorial não importa. Ou seja, a propriedade comutativa aplica-se em adição vectorial.
EXEMPLO 1
Encontre a soma dos três vectores seguintes:
Solução
Para encontrar a soma dos três vectores, temos de começar por encontrar a soma de dois dos vectores e depois adicionar o terceiro.
Então, podemos começar adicionando os vetores $latex \vec{A}$ e $latex \vec{B}$ para obter o vetor $latex \vec{D}$:
Em seguida, adicionamos o vetor $latex \vec{C}$ ao vetor $latex \vec{D}$ para obter o resultado final $latex \vec{R}$:
Esta adição pode ser feita em qualquer outra ordem. Por exemplo, se adicionarmos $latex \vec{B}$ e $latex \vec{C}$ primeiro e $latex \vec{A}$ último, obteremos o mesmo resultado.
EXEMPLO 2
Um ciclista parte em um passeio de 10 km ao norte e depois 20 km ao leste. A que distância e em que direção ele/ela está do ponto de partida?
Solución
Podemos começar desenhando um diagrama do problema. Usando o método do polígono, a soma dos vetores é:
Depois, queremos encontrar a magnitude e direção (ângulo) do vetor azul-escuro, o vetor $latex \vec{R}$.
Como os vectores formam ângulos rectos uns aos outros, o triângulo formado é um triângulo retângulo. Então, podemos usar o teorema de Pitágoras e a trigonometria.
A distância entre o ponto inicial e o ponto final é igual ao comprimento da hipotenusa do triângulo:
$$\sqrt{(10\text{ km})^2+(20\text{ km})^2}=22.36\text{ km}$$
Podemos encontrar o ângulo θ usando a função tangente:
$$\tan(\theta)=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}=\frac{20\text{ km}}{10\text{ km}}=2$$
$$\theta=\tan^{-1}(2)=63.4^{\circ}$$
Então, o ciclista está a 22,36 km numa direção de 63,4° de norte a leste (eixo x positivo).
Adicionando vetores com o método do paralelogramo
O método do paralelogramo é outra forma de representar graficamente uma soma de dois vetores. Lembre-se de que um paralelogramo é um quadrilátero no qual seus lados opostos são paralelos.
Suponhamos que queremos representar a seguinte soma vetorial usando o método do paralelogramo:
$latex \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}$
Podemos desenhar os vetores $latex \vec{A}$ e $latex \vec{B}$ com suas bases no mesmo ponto. Depois, construímos um paralelogramo, onde, $latex \vec{A}$ e $latex \vec{B}$ são dois lados adjacentes:
Então, o resultado da soma, ou seja, o vector $latex \vec{C}$ é a diagonal do paralelogramo construído.
EXEMPLO
Encontre a soma dos seguintes vetores usando o método do paralelogramo.
Solução
Para encontrar o vector resultante, temos de colocar os vectores com as suas bases no mesmo ponto. Então, temos:
Depois, formamos um paralelogramo no qual os vectores iniciais são os seus lados adjacentes:
A soma dos vetores é igual à diagonal do paralelogramo formado:
.
Adicionando vetores usando seus componentes
Dois ou mais vectores podem ser adicionados facilmente se conhecermos os seus componentes. Para isso, só temos de adicionar os seus componentes $latex x$ e $latex y$ separadamente.
Suponhamos que temos dois vetores $latex \vec{A}$ e $latex \vec{B}$ e queremos encontrar o vetor $latex \vec{C}$, o qual é a soma dos dois vetores.
Podemos usar o seguinte diagrama para visualizar isto:
Podemos observar que o componente $latex x$ de $latex \vec{C}$ é igual à soma dos componentes $latex x$ dos vetores ($latex A_{x}+B_{x}$).
O mesmo se aplica para os componentes $latex y $. Então, temos:
$latex C_{x}=A_{x}+B_{x}$
$latex C_{y}=A_{y}+B_{y}$
Podemos usar esse método para encontrar a soma de qualquer número de vetores em 2D ou 3D. Por exemplo, se $latex \vec{D}$ é a soma de $latex \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$, temos
$latex D_{x}=A_{x}+B_{x}+C_{x}$
$latex D_{y}=A_{y}+B_{y}+C_{y}$
EXEMPLO 1
Encontre a soma dos vetores $latex \vec{u}=3i+2j+5k$ e $latex \vec{v}=2i+j+3k$.
Solução
Nesta notação, as letras i, j, k representam os componentes em x, y, z, respectivamente.
Depois, para encontrar os componentes do vector formado pela soma de $latex \vec{u}$ e $latex \vec{v}$, adicionamos os componentes dos vectores:
$$R_{x}=u_{x}+v_{x}=3+2=5$$
$$R_{y}=u_{y}+v_{y}=2+1=3$$
$$R_{z}=u_{z}+v_{z}=5+3=8$$
Então, a soma dos vetores é
$latex \vec{R}=5i+3j+8k$
EXEMPLO 2
Encontre os componentes do vector formado pela soma dos seguintes vectores:
$latex \vec{A}$: 20 m, 60 ° de leste a norte
$latex \vec{B}$: 10 m, 30 ° de leste a norte
Solução
Para resolver este problema, temos de começar por encontrar os componentes $latex x$ e $latex y$ dos dois vectores dados.
Depois, usamos as fórmulas para os componentes de um vector, lembrando que encontramos o componente $latex x$ com o cosseno e o componente $latex y$ com o seno:
$$A_{x}=A\cos (\theta)=(20\text{ m})(\cos(60^{\circ})=10\text{ m}$$
$$A_{y}=A\sin (\theta)=(20\text{ m})(\sin(60^{\circ})=17.32\text{ m}$$
$$B_{x}=B\cos (\theta)=(10\text{ m})(\cos(30^{\circ})=8.66\text{ m}$$
$$B_{y}=B\sin (\theta)=(10\text{ m})(\sin(30^{\circ})=5\text{ m}$$
Então, os componentes do vetor formado pela soma são:
$$R_{x}=A_{x}+B_{x}=10\text{ m}+8.66\text{ m}=18.66\text{ m}$$
$$R_{y}=A_{y}+B_{y}=17.32\text{ m}+5\text{ m}=22.32\text{ m}$$
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
