Os componentes de um vetor são quantidades escalares que indicam o “deslocamento” em cada eixo de um sistema de coordenadas. Esses componentes podem ser calculados usando a magnitude e a direção do vetor, juntamente com as funções trigonométricas fundamentais.
A seguir, aprenderemos como encontrar os componentes de um vetor. Além disso, veremos algumas aplicações dos componentes e exemplos práticos.
O que são os componentes de um vetor?
As componentes de um vetor são os números que indicam o deslocamento na direção de cada eixo de um sistema de coordenadas.
Podemos obter uma definição mais clara dos componentes de um vetor $latex \vec{A}$ representando graficamente um sistema de coordenadas cartesianas, conforme mostrado no diagrama a seguir:
Se assumirmos que $latex \vec{A}$ é um vetor de deslocamento, podemos considerar $latex \vec{A}$ como a soma de um deslocamento paralelo ao eixo $latex x$ e um deslocamento paralelo ao eixo $latex y$.
Usamos a notação $latex A_{x}$ e $latex A_{y}$ para indicar a quantidade de deslocamento no eixo $latex x$ e no eixo $latex y$, respectivamente.
Os dois números $latex A_{x}$ e $latex A_{y}$ são os componentes de $latex \vec{A}$. Esses números podem ser positivos ou negativos.
EXEMPLO
Se um vector $latex \vec{A}$ é a soma de um deslocamento de 10 m para Leste (eixo x positivo) e 20 m para Norte (eixo y positivo), os seus componentes são:
$latex A_{x}=10\text{ m}$
$latex A_{y}=20\text{ m}$
Observe que os componentes não são vetores. Os componentes de um vetor são números e não vetores. Por esse motivo, usamos letras sem setas acima delas para representá-los.
Fórmulas para calcular os componentes de um vetor
Para calcular as componentes de um vetor $latex \vec{A}$, precisamos conhecer sua magnitude $latex A$ e sua direção.
A direção do vetor é descrita por um ângulo medido a partir do eixo x positivo. O ângulo é positivo quando vai no sentido anti-horário.
Considere o seguinte diagrama para encontrar as fórmulas para os componentes de um vetor:
Lembrando que o cosseno em um triângulo retângulo é igual ao lado adjacente na hipotenusa e o seno é igual ao lado oposto na hipotenusa, temos:
$$\frac{A_{x}}{A}=\cos(\theta)\text{ e }\frac{A_{y}}{A}=\sin(\theta)$$
Então, as fórmulas para os componentes de um vetor são:
$latex A_{x}=A\cos(\theta)$
$latex A_{y}=A\sin(\theta)$
Essas equações estão corretas apenas quando o ângulo θ é medido a partir do eixo x positivo. Se o ângulo do vetor tiver uma referência diferente, as relações serão diferentes.
10 Exercícios resolvidos dos componentes de um vetor
EXERCÍCIO 1
Se o vetor $latex \vec{A}$ tem uma magnitude de 100 mm e um ângulo de 60° em relação ao eixo $latex x$, quais são seus componentes $latex x$ e $latex y$?
Solução
Temos os seguintes dados
- Magnitude: $latex A=100$ mm
- Ângulo: $latex \theta=60^{\circ}$
- $latex \cos(60^{\circ})=0,5$
- $latex \sin(60^{\circ})=0,866$
Então, usamos as fórmulas para os componentes de um vetor com os dados fornecidos:
$latex A_{x}=A\cos(\theta)$
$latex =100\cos(60^{\circ})$
$latex =50$ mm
$latex A_{y}=A\sin(\theta)$
$latex =100\sin(60^{\circ})$
$latex =86,6$ mm
EXERCÍCIO 2
Encontre os componentes $latex x$ e $latex y$ do vetor $latex \vec{B}$ que tem uma magnitude de 15 unidades e um ângulo de 60° em relação ao eixo $latex x$.
Solução
Podemos observar as seguintes informações:
- Magnitude: $latex B=15$
- Ângulo: $latex \theta=60^{\circ}$
- $latex \cos(60^{\circ})=0,5$
- $latex \sin(60^{\circ})=0,866$
Aplicando as fórmulas das componentes de um vetor com as informações dadas, temos:
$latex B_{x}=B\cos(\theta)$
$latex =15\cos(60^{\circ})$
$latex =7,5$
$latex B_{y}=B\sin(\theta)$
$latex =15\sin(60^{\circ})$
$latex \approx 13$
EXERCÍCIO 3
O vetor $latex \vec{C}$ tem uma magnitude de 20 unidades e um ângulo de 135° em relação ao eixo $latex x$. Encontre seus componentes $latex x$ e $latex y$.
Solução
Da pergunta temos:
- Magnitude: $latex C=20$
- Ângulo: $latex \theta=135^{\circ}$
- $latex \cos(135^{\circ})=-0,7071$
- $latex \sin(135^{\circ})=0,7071$
Agora, podemos calcular os componentes:
$latex C_{x}=C\cos(\theta)$
$latex =20\cos(135^{\circ})$
$latex =-14,142$
$latex C_{y}=C\sin(\theta)$
$latex =20\sin(135^{\circ})$
$latex =14,142$
Podemos ver claramente que o componente $latex x$ é negativo e o componente $latex y$ é positivo:
.
EXERCÍCIO 4
Se o vetor $latex \vec{A}$ tem uma magnitude de 18 unidades e um ângulo de 120° em relação ao eixo $latex x$, quais são seus componentes $latex x$ e $latex y$?
Solução
Podemos obter as seguintes informações:
- Magnitude: $latex A=18$
- Ângulo: $latex \theta=120^{\circ}$
- $latex \cos(120^{\circ})=-0,5$
- $latex \sin(120^{\circ})=0,866$
Então, usamos as fórmulas para os componentes de um vetor com os dados fornecidos:
$latex A_{x}=A\cos(\theta)$
$latex =18\cos(120^{\circ})$
$latex =-9$
$latex A_{y}=A\sin(\theta)$
$latex =18\sin(120^{\circ})$
$latex =15,588$
EXERCÍCIO 5
Encontre os componentes do vetor $latex \vec{B}$ que tem uma magnitude de 30 unidades e um ângulo de 210° em relação ao eixo $latex x$.
Solução
Podemos extrair as seguintes informações:
- Magnitude: $latex B=30$
- Ângulo: $latex \theta=210^{\circ}$
- $latex \cos(210^{\circ})=-0,8660$
- $latex \sin(210^{\circ})=-0,5$
Então, usamos as fórmulas para os componentes de um vetor com os dados fornecidos:
$latex B_{x}=B\cos(\theta)$
$latex =30\cos(120^{\circ})$
$latex =-25,98$
$latex B_{y}=B\sin(\theta)$
$latex =30\sin(120^{\circ})$
$latex =-15$
Podemos ver que ambos os componentes são negativos:
.
EXERCÍCIO 6
O vetor $latex \vec{C}$ tem uma magnitude de 40 unidades e um ângulo de 150° em relação ao eixo $latex x$. Encontre seus componentes.
Solução
Podemos observar o seguinte:
- Magnitude: $latex C=40$
- Ângulo: $latex \theta=150^{\circ}$
- $latex \cos(150^{\circ})=-0,8660$
- $latex \sin(150^{\circ})=0,5$
Encontramos os componentes usando as fórmulas padrão:
$latex C_{x}=C\cos(\theta)$
$latex =40\cos(150^{\circ})$
$latex =-34,64$
$latex C_{y}=C\sin(\theta)$
$latex =40\sin(150^{\circ})$
$latex =20$
EXERCÍCIO 7
Encontre os componentes do seguinte vetor:
Solução
Podemos começar anotando as informações que sabemos:
- Magnitude: $latex A=10$ m
- Ângulo: $latex \theta=30^{\circ}$
Agora, usamos as fórmulas de componentes:
$latex A_{x}=A\cos(\theta)$
$latex =10\cos(30^{\circ})$
$latex =8,66$ m
$latex A_{y}=A\sin(\theta)$
$latex =10\sin(30^{\circ})$
$latex =5$ m
EXERCÍCIO 8
Quais são os componentes do seguinte vetor?
Solução
Temos as seguintes informações:
- Magnitude: $latex A=25$ km
- Ângulo: $latex \theta=45^{\circ}$
Portanto, temos:
$latex A_{x}=A\cos(\theta)$
$latex =25\cos(45^{\circ})$
$latex =17,678$ km
$latex A_{y}=A\sin(\theta)$
$latex =25\sin(45^{\circ})$
$latex =17,678$ km
EXERCÍCIO 9
Determine os componentes do seguinte vetor:
Solução
Vemos que, neste caso, o ângulo é medido a partir do eixo y positivo no sentido horário:
- $latex A=15$ m
- $latex \theta=30^{\circ}$
Podemos usar a trigonometria para encontrar outras equações com esse ângulo, ou podemos usar as equações originais e encontrar um ângulo equivalente a partir do eixo x positivo.
Vamos usar o ângulo e a trigonometria dados para encontrar o seguinte:
$latex A_{x}=A\sin(\theta)$
$latex =15\sin(30^{\circ})$
$latex =7,5$ m
$latex A_{y}=A\cos(\theta)$
$latex =15\cos(30^{\circ})$
$latex =12,99$ m
EXERCÍCIO 10
Quais são os componentes do seguinte vetor?
Solução
Podemos usar o mesmo processo do exemplo anterior ou podemos encontrar o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
Notamos que o ângulo é medido a partir do eixo y positivo no sentido anti-horário. Se somarmos 90°, encontraremos seu ângulo equivalente a partir do eixo x positivo:
- $latex A=10$ km
- $latex \theta=53^{\circ}+90^{\circ}=143^{\circ}$
Então, temos:
$latex A_{x}=A\cos(\theta)$
$latex =10\cos(143^{\circ})$
$latex =-7,986$ km
$latex A_{y}=A\sin(\theta)$
$latex =10\sin(143^{\circ})$
$latex =6,018$ km
Nesse caso, o componente x é negativo porque o vetor está no segundo quadrante.
Componentes de vectores – Exercícios a resolver
Qual é o componente $latex x$ de um vetor com um módulo de 1259 unidades e um ângulo de 270° em relação ao eixo $latex x$?
Escreva a resposta na caixa.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
