Componentes de um vetor – Fórmulas e exercícios

Os componentes de um vetor são quantidades escalares que indicam o “deslocamento” em cada eixo de um sistema de coordenadas. Esses componentes podem ser calculados usando a magnitude e a direção do vetor, juntamente com as funções trigonométricas fundamentais.

A seguir, aprenderemos como encontrar os componentes de um vetor. Além disso, veremos algumas aplicações dos componentes e exemplos práticos.

FÍSICA
Fórmulas dos componentes de um vetor

Relevante para

Aprender sobre os componentes de um vetor.

Ver exercícios

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Fórmulas dos componentes de um vetor

Relevante para

Aprender sobre os componentes de um vetor.

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O que são os componentes de um vetor?

As componentes de um vetor são os números que indicam o deslocamento na direção de cada eixo de um sistema de coordenadas.

Podemos obter uma definição mais clara dos componentes de um vetor $latex \vec{A}$ representando graficamente um sistema de coordenadas cartesianas, conforme mostrado no diagrama a seguir:

Diagrama de componentes de um vetor

Se assumirmos que $latex \vec{A}$ é um vetor de deslocamento, podemos considerar $latex \vec{A}$ como a soma de um deslocamento paralelo ao eixo $latex x$ e um deslocamento paralelo ao eixo $latex y$.

Usamos a notação $latex A_{x}$ e $latex A_{y}$ para indicar a quantidade de deslocamento no eixo $latex x$ e no eixo $latex y$, respectivamente.

Os dois números $latex A_{x}$ e $latex A_{y}$ são os componentes de $latex \vec{A}$. Esses números podem ser positivos ou negativos.

EXEMPLO

Se um vector $latex \vec{A}$ é a soma de um deslocamento de 10 m para Leste (eixo x positivo) e 20 m para Norte (eixo y positivo), os seus componentes são:

$latex A_{x}=10\text{ m}$

$latex A_{y}=20\text{ m}$

Observe que os componentes não são vetores. Os componentes de um vetor são números e não vetores. Por esse motivo, usamos letras sem setas acima delas para representá-los.


Fórmulas para calcular os componentes de um vetor

Para calcular as componentes de um vetor $latex \vec{A}$, precisamos conhecer sua magnitude $latex A$ e sua direção.

A direção do vetor é descrita por um ângulo medido a partir do eixo x positivo. O ângulo é positivo quando vai no sentido anti-horário.

Considere o seguinte diagrama para encontrar as fórmulas para os componentes de um vetor:

Diagrama de componentes de um vetor

Lembrando que o cosseno em um triângulo retângulo é igual ao lado adjacente na hipotenusa e o seno é igual ao lado oposto na hipotenusa, temos:

$$\frac{A_{x}}{A}=\cos(\theta)\text{ e }\frac{A_{y}}{A}=\sin(\theta)$$

Então, as fórmulas para os componentes de um vetor são:

$latex A_{x}=A\cos(\theta)$

$latex A_{y}=A\sin(\theta)$

Essas equações estão corretas apenas quando o ângulo θ é medido a partir do eixo x positivo. Se o ângulo do vetor tiver uma referência diferente, as relações serão diferentes.


10 Exercícios resolvidos dos componentes de um vetor

EXERCÍCIO 1

Se o vetor $latex \vec{A}$ tem uma magnitude de 100 mm e um ângulo de 60° em relação ao eixo $latex x$, quais são seus componentes $latex x$ e $latex y$?

Solução

EXERCÍCIO 2

Encontre os componentes $latex x$ e $latex y$ do vetor $latex \vec{B}$ que tem uma magnitude de 15 unidades e um ângulo de 60° em relação ao eixo $latex x$.

Solução

EXERCÍCIO 3

O vetor $latex \vec{C}$ tem uma magnitude de 20 unidades e um ângulo de 135° em relação ao eixo $latex x$. Encontre seus componentes $latex x$ e $latex y$.

Solução

EXERCÍCIO 4

Se o vetor $latex \vec{A}$ tem uma magnitude de 18 unidades e um ângulo de 120° em relação ao eixo $latex x$, quais são seus componentes $latex x$ e $latex y$?

Solução

EXERCÍCIO 5

Encontre os componentes do vetor $latex \vec{B}$ que tem uma magnitude de 30 unidades e um ângulo de 210° em relação ao eixo $latex x$.

Solução

EXERCÍCIO 6

O vetor $latex \vec{C}$ tem uma magnitude de 40 unidades e um ângulo de 150° em relação ao eixo $latex x$. Encontre seus componentes.

Solução

EXERCÍCIO 7

Encontre os componentes do seguinte vetor:

exercício 7 de componentes de um vetor
Solução

EXERCÍCIO 8

Quais são os componentes do seguinte vetor?

exercício 8 de componentes de um vetor
Solução

EXERCÍCIO 9

Determine os componentes do seguinte vetor:

exercício 9 de componentes de um vetor
Solução

EXERCÍCIO 10

Quais são os componentes do seguinte vetor?

exercício 10 de componentes de um vetor
Solução

Componentes de vectores – Exercícios a resolver

Prática de componentes de vetores
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Você concluiu os exercícios!

Qual é o componente $latex x$ de um vetor com um módulo de 1259 unidades e um ângulo de 270° em relação ao eixo $latex x$?

Escreva a resposta na caixa.

$latex V_{x}=$

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Foto de perfil do autor Jefferson Huera Guzman

Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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