Calculadora de Distância e Ponto Médio
Distância (d):
Ponto médio (M):
Distância ao quadrado (d²):
Distância exata:
Diferenças (Δx, Δy):
Cálculo:
Com esta calculadora você encontra a distância entre dois pontos e o ponto médio entre eles, no plano ou no espaço. Digite as coordenadas, ou arraste os pontos no gráfico, e veja o segmento, o triângulo retângulo formado pelas diferenças das coordenadas e o ponto médio marcado. Logo abaixo estão todos os passos com os seus números.
Mais abaixo estão as fórmulas, exemplos resolvidos, uma tabela de distâncias exatas e as dúvidas mais comuns.
Como usar a calculadora de distância e ponto médio?
Passo 1: Escolha No plano (2D) se os pontos têm duas coordenadas, ou No espaço (3D) se têm três.
Passo 2: Digite as coordenadas de A e de B. Pode usar vírgula ou ponto decimal, por exemplo 2,5 ou 2.5, e números negativos valem. Em 2D você também pode arrastar A e B no gráfico.
Passo 3: Clique em Calcular ou aperte a tecla Enter. Os resultados também se atualizam enquanto você digita.
Passo 4: Veja a distância, o ponto médio e as diferenças. Com coordenadas inteiras você vê também a distância exata com raiz, como 2√13. O quadro Cálculo mostra cada operação.
Fórmula da distância entre dois pontos
A distância é o comprimento do segmento que liga A (x1, y1) a B (x2, y2). Ela vem do teorema de Pitágoras: as diferenças das coordenadas são os catetos de um triângulo retângulo e o segmento é a hipotenusa.
| d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] |
No espaço entra uma terceira diferença:
| d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²] |
As diferenças são elevadas ao quadrado, então a ordem dos pontos não importa: a distância de A até B é igual à de B até A, e nunca é negativa.
Fórmula do ponto médio
O ponto médio M fica exatamente no meio do segmento. Suas coordenadas são a média das coordenadas dos dois extremos:
| M = ((x1 + x2) ÷ 2, (y1 + y2) ÷ 2) |
Se você conhece o ponto médio M e um extremo A, o outro extremo é B = (2xM - xA, 2yM - yA).
Exemplos de distância e ponto médio
Exemplo 1: Pontos (1, 2) e (7, 10)
d = √[(7 - 1)² + (10 - 2)²] = √[6² + 8²] = √[36 + 64]
d = √100 = 10
M = ((1 + 7) ÷ 2, (2 + 10) ÷ 2) = (4, 6)
A distância é um número inteiro: 10. As diferenças 6 e 8 são um múltiplo da terna 3, 4, 5.
Exemplo 2: Pontos (-2, 1) e (4, 5), com raiz
d = √[(4 - (-2))² + (5 - 1)²] = √[6² + 4²] = √[36 + 16]
d = √52 = 2√13 ≈ 7,211
M = (((-2) + 4) ÷ 2, (1 + 5) ÷ 2) = (1, 3)
Como 52 = 4 × 13, a raiz se simplifica para 2√13. Essa é a distância exata, e 7,211 é o valor aproximado.
Exemplo 3: Pontos com decimais
Os pontos (-3,5, 2) e (6, -1,5) têm coordenadas decimais, então não há forma exata com raiz inteira:
d = √[(6 - (-3,5))² + ((-1,5) - 2)²] = √[9,5² + (-3,5)²] = √[90,25 + 12,25]
d = √102,5 ≈ 10,12
M = (((-3,5) + 6) ÷ 2, (2 + (-1,5)) ÷ 2) = (1,25, 0,25)
Exemplo 4: Distância em 3D
Entre A(1, 2, 3) e B(4, 6, 15) as diferenças são 3, 4 e 12:
d = √[(4 - 1)² + (6 - 2)² + (15 - 3)²] = √[3² + 4² + 12²] = √[9 + 16 + 144]
d = √169 = 13
M = ((1 + 4) ÷ 2, (2 + 6) ÷ 2, (3 + 15) ÷ 2) = (2,5, 4, 9)
A distância é exatamente 13, porque 3, 4 e 12 formam uma terna que dá raiz exata no espaço.
Tabela de distâncias exatas em 2D e 3D
Estas diferenças dão uma distância inteira. Servem para montar exercícios cujo resultado não precisa de raiz.
| Δx | Δy | Distância |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
| 9 | 40 | 41 |
| Δx | Δy | Δz | Distância |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 6 | 7 |
| 4 | 4 | 7 | 9 |
| 1 | 4 | 8 | 9 |
| 2 | 6 | 9 | 11 |
Perguntas frequentes
Como se calcula a distância entre dois pontos?
Subtraia as coordenadas, eleve cada diferença ao quadrado, some os quadrados e extraia a raiz. Para (0, 0) e (3, 4): d = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Como se encontra o ponto médio de um segmento?
Tire a média das coordenadas separadamente. Para (0, 0) e (6, 8) o ponto médio é ((0 + 6) ÷ 2, (0 + 8) ÷ 2) = (3, 4), e a distância total é 10.
Como se calcula a distância em 3D?
É a mesma fórmula com uma terceira diferença, a das coordenadas z. Entre (0, 0, 0) e (1, 1, 1) é √(1 + 1 + 1) = √3 ≈ 1,732, a diagonal de um cubo de lado 1.
A ordem dos pontos importa?
Não. As diferenças são elevadas ao quadrado, então o sinal desaparece. A distância de A até B é igual à de B até A, e o ponto médio também é o mesmo.
Como encontro um extremo se conheço o ponto médio?
Dobre o ponto médio e subtraia o extremo que você já tem. Se M = (1, 3) e A = (-2, 1), então B = (2 × 1 - (-2), 2 × 3 - 1) = (4, 5).
Para aprender mais
- Distância entre dois pontos: fórmula e exemplos
- Ponto médio entre dois pontos: fórmula e exercícios
- Exercícios de distância entre dois pontos no plano cartesiano
- Ponto médio de um segmento: fórmula e exemplos
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