Calculadora de triângulos: resolva LLL, LAL, ALA

Calculadora de Triângulos

Dados que você conhece Unidade (opcional)

Lado a

Lado b

Lado c

Triângulo resolvido:

Cálculo:

Esta calculadora de triângulos resolve qualquer triângulo a partir de três dados: três lados (LLL), dois lados e o ângulo entre eles (LAL), dois ângulos e um lado (ALA ou LAAo) ou dois lados e um ângulo oposto (LLAo). No caso ambíguo LLAo ela mostra as duas soluções. Também desenha o triângulo em escala com seus lados e ângulos, dá a área e o perímetro e o classifica.

Mais abaixo estão as fórmulas, exemplos resolvidos, uma tabela de casos e as dúvidas mais comuns.

Como usar a calculadora de triângulos?

Passo 1: Em Dados que você conhece, escolha o caso: LLL, LAL, ALA, LAAo ou LLAo. Os campos mudam conforme o caso. Se quiser, escolha uma unidade de comprimento.

Passo 2: Digite os três dados. Os lados são nomeados com letra minúscula (a, b, c) e cada um fica oposto ao ângulo de mesma letra maiúscula (A, B, C). Os ângulos vão em graus. Pode usar vírgula ou ponto decimal.

Passo 3: Clique em Calcular ou aperte Enter.

Passo 4: Você vê o desenho em escala, a tabela com lados, ângulos, área, perímetro e classificação, e o quadro Cálculo mostra cada operação. Se o caso LLAo tiver duas soluções, as duas aparecem.

Fórmulas para resolver um triângulo

Lei dos cossenos, para três lados ou para dois lados e o ângulo entre eles:

c² = a² + b² - 2ab cos C cos A = (b² + c² - a²) ÷ (2bc)

Lei dos senos, quando se conhece um lado e o ângulo oposto a ele:

a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C

Os três ângulos de um triângulo somam 180°. A área sai de dois lados e do ângulo entre eles, ou da fórmula de Heron quando só se conhecem os três lados (s é o semiperímetro):

A = ½ab sen C A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]

Para classificar: pelos lados ele é equilátero (três iguais), isósceles (dois iguais) ou escaleno (nenhum igual); pelos ângulos é acutângulo (todos menores que 90°), retângulo (um de 90°) ou obtusângulo (um maior que 90°).

Exemplos de triângulos resolvidos

Exemplo 1: Três lados (LLL)

Um triângulo tem lados a = 5, b = 7 e c = 8. Usamos a lei dos cossenos para dois ângulos, o terceiro sai da soma de 180° e a área, da fórmula de Heron:

cos A = (49 + 64 - 25) ÷ 112 = 0,785714, A = arccos(0,785714) ≈ 38,21°

cos B = (25 + 64 - 49) ÷ 80 = 0,5, B = arccos(0,5) = 60°

C = 180° - 38,21° - 60° ≈ 81,79°

s = 10, Área = √[10 × 5 × 3 × 2] ≈ 17,32

É um triângulo escaleno e acutângulo. O perímetro é 20.

Exemplo 2: Dois lados e o ângulo entre eles (LAL)

Dados: a = 8, b = 11 e C = 40°. Primeiro o lado que falta pela lei dos cossenos, depois os ângulos:

c² = 64 + 121 - 2 × 8 × 11 × cos(40°) = 50,176178

c = √50,176178 ≈ 7,084

A ≈ 46,55°, B = 180° - 46,55° - 40° ≈ 93,45°

A área é ½ × 8 × 11 × sen 40° ≈ 28,28.

Exemplo 3: Dois ângulos e o lado entre eles (ALA)

Dados: A = 40°, B = 60° e c = 10. O terceiro ângulo sai da soma de 180° e os lados, da lei dos senos:

C = 180° - 40° - 60° = 80°

a = 10 × sen(40°) ÷ sen(80°) ≈ 6,527

b = 10 × sen(60°) ÷ sen(80°) ≈ 8,794

O perímetro é 25,32 e a área é 28,26.

Exemplo 4: O caso ambíguo (LLAo)

Dados: a = 7, b = 10 e A = 30°. Como a é menor que b mas maior que b·sen A = 5, cabem dois triângulos:

sen B = 10 × sen(30°) ÷ 7 = 0,714286

B = 45,58° or B′ = 180° - 45,58° = 134,42°

C = 104,42°, c = 7 × sen(104,42°) ÷ sen(30°) ≈ 13,56

C′ = 15,58°, c′ = 7 × sen(15,58°) ÷ sen(30°) ≈ 3,761

Os dois servem: um com c ≈ 13,56 e outro com c ≈ 3,761. A calculadora desenha os dois sobre a mesma base.

Qual fórmula usar em cada caso

Dados	Primeiro passo	Quantos triângulos
LLL: três lados	Lei dos cossenos	Um, se valer a desigualdade triangular
LAL: dois lados e o ângulo entre eles	Lei dos cossenos	Sempre um
ALA: dois ângulos e o lado entre eles	Soma de 180° e lei dos senos	Um, se os ângulos somarem menos de 180°
LAAo: dois ângulos e um lado oposto	Soma de 180° e lei dos senos	Um, se os ângulos somarem menos de 180°
LLAo: dois lados e um ângulo oposto	Lei dos senos	Nenhum, um ou dois

No caso LLAo, com o ângulo A agudo e h = b·sen A: se a < h não há triângulo, se a = h há um triângulo retângulo, se h < a < b há dois e se a ≥ b há um. Com A de 90° ou mais só há solução se a > b.

Perguntas frequentes

Como resolver um triângulo se eu conheço os três lados?

Use a lei dos cossenos para achar dois ângulos e subtraia de 180° para o terceiro. Com lados 3, 4 e 5 os ângulos são 36,87°, 53,13° e 90°, ou seja, um triângulo retângulo.

O que é o caso ambíguo LLAo?

Acontece quando você conhece dois lados e um ângulo que não está entre eles. Dependendo dos números, podem existir zero, um ou dois triângulos, porque um ângulo e o seu suplemento têm o mesmo seno. A calculadora mostra as duas soluções quando elas existem.

Como saber se três lados formam um triângulo?

Cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois (desigualdade triangular). Com 2, 3 e 6 não dá, porque 2 + 3 é menor que 6.

Como calcular a área se eu só conheço os lados?

Com a fórmula de Heron. Para lados 13, 14 e 15, o semiperímetro é 21 e a área é √(21 × 8 × 7 × 6) = 84.

Como se classifica um triângulo?

Pelos lados (equilátero, isósceles, escaleno) e pelo maior ângulo (acutângulo, retângulo, obtusângulo). A calculadora dá as duas classificações.

Para aprender mais

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