Círculo Trigonométrico Interativo
°
Ângulos notáveis:
cos θ sin θ tan θ
Arraste no círculo para mover o ângulo. Ele gruda nos ângulos notáveis quando você passa perto.
Ângulo:
Seno, sin θ:
Cosseno, cos θ:
Tangente, tan θ:
Ponto no círculo (cos θ, sin θ):
Localização do ângulo:
Ângulo de referência:
Recíprocas:
Cálculo:
Mova um ângulo pelo círculo trigonométrico e veja como o seno, o cosseno e a tangente mudam. O cosseno é o segmento horizontal, o seno é o segmento vertical e a tangente é o segmento verde que sai do ponto (1, 0). Para os ângulos notáveis, a calculadora mostra o valor exato, como √3/2, além do decimal, e diz o quadrante e o ângulo de referência.
Mais abaixo estão o passo a passo, exemplos resolvidos, a tabela de ângulos notáveis e as perguntas mais comuns.
Como usar o círculo trigonométrico interativo
Passo 1: Arraste no círculo, mova o controle deslizante, toque em um ângulo notável ou digite o ângulo. Escolha Graus ou Radianos. Em radianos você pode digitar pi/6 ou 2pi/3.
Passo 2: Clique em Calcular ou aperte Enter se você digitou o valor. O círculo se atualiza na hora.
Passo 3: Observe os segmentos: azul para cos θ, laranja para sin θ e verde para tan θ. O ponto do círculo tem coordenadas (cos θ, sin θ).
Passo 4: Leia os valores, o quadrante e o ângulo de referência nos resultados. O quadro Cálculo mostra como eles saem com o seu ângulo.
O que é o círculo trigonométrico
O círculo trigonométrico tem raio 1 e centro na origem. Se um ângulo θ é medido a partir do eixo x positivo, o ponto do círculo nessa direção tem coordenadas (cos θ, sin θ). Por isso o cosseno é a coordenada x e o seno é a coordenada y. Como o raio é 1, vale sempre:
| sin² θ + cos² θ = 1 |
| tan θ = sin θ ÷ cos θ |
A tangente é o segmento verde porque, ao prolongar o raio até a reta vertical x = 1, a altura em que ele chega é tan θ. Quando cos θ = 0 (90° e 270°) o raio é paralelo a essa reta e a tangente não existe.
Quadrante e ângulo de referência
O ângulo de referência é o ângulo agudo que o raio forma com o eixo x. Com ele, os valores de qualquer ângulo se reduzem aos de 0°, 30°, 45°, 60° ou 90°, e o quadrante decide os sinais.
| Quadrante | Ângulos | Ângulo de referência | Sinais |
|---|---|---|---|
| I | 0° a 90° | θ | sin +, cos +, tan + |
| II | 90° a 180° | 180° - θ | sin +, cos -, tan - |
| III | 180° a 270° | θ - 180° | sin -, cos -, tan + |
| IV | 270° a 360° | 360° - θ | sin -, cos +, tan - |
Exemplos do círculo trigonométrico
Exemplo 1: 30°
30° = π/6 rad, quadrante I, ângulo de referência 30°
sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = √3/3
O ponto do círculo é (√3/2; 1/2) ≈ (0,866; 0,5).
Exemplo 2: 135°
135° = 3π/4 rad, quadrante II, ângulo de referência 180° - 135° = 45°
sin 135° = √2/2, cos 135° = -√2/2, tan 135° = -1
No quadrante II o seno é positivo e o cosseno é negativo, por isso a tangente sai negativa.
Exemplo 3: 210°
210° = 7π/6 rad, quadrante III, ângulo de referência 210° - 180° = 30°
sin 210° = -1/2, cos 210° = -√3/2, tan 210° = √3/3
No quadrante III o seno e o cosseno são negativos, e o quociente deles, a tangente, é positivo.
Exemplo 4: 5π/3 radianos
5π/3 × 180° ÷ π = 300°, quadrante IV, ângulo de referência 360° - 300° = 60°
sin = -√3/2, cos = 1/2, tan = -√3
Um ângulo de -60° tem os mesmos valores, porque é côngruo a 300°: aponta para o mesmo lugar do círculo.
Tabela de valores exatos dos ângulos notáveis
| Graus | Radianos | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | indefinida |
| 120° | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 |
| 135° | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 |
| 150° | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 |
| 180° | π | 0 | -1 | 0 |
| 210° | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | -√2/2 | -√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | -1 | 0 | indefinida |
| 300° | 5π/3 | -√3/2 | 1/2 | -√3 |
| 315° | 7π/4 | -√2/2 | √2/2 | -1 |
| 330° | 11π/6 | -1/2 | √3/2 | -√3/3 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
Perguntas frequentes
Por que o seno é a coordenada y e o cosseno é a coordenada x?
Porque no círculo trigonométrico a hipotenusa do triângulo retângulo mede 1. Então o cateto horizontal é cos θ (hipotenusa vezes cos θ) e o cateto vertical é sin θ. Eles são as coordenadas do ponto.
Como encontro o seno de 150° sem calculadora?
Ache o ângulo de referência: 180° - 150° = 30°. O seno de 30° é 1/2 e, no quadrante II, o seno é positivo, então sin 150° = 1/2. O cosseno fica com sinal negativo: cos 150° = -√3/2.
Quantos graus são π radianos?
π radianos são 180°, e 2π radianos são uma volta completa de 360°. Para passar de graus para radianos, multiplica-se por π e divide-se por 180. Você pode conferir na calculadora de graus para radianos.
Por que a tangente de 90° não existe?
Porque tan θ = sin θ ÷ cos θ e cos 90° = 0. Não dá para dividir por 0. No círculo, o raio a 90° é vertical e nunca encontra a reta x = 1, então o segmento verde não pode ser desenhado.
E os ângulos maiores que 360° ou negativos?
Cada volta completa de 360° volta ao mesmo ponto. 450° aponta igual a 90°, e -30° aponta igual a 330°. A calculadora mostra o ângulo equivalente dentro de uma volta.
Para aprender mais
- O círculo unitário
- Razões trigonométricas de ângulos notáveis
- Converter graus para radianos
- Identidades trigonométricas pitagóricas
Calculadoras relacionadas
- Calculadora de Graus para Radianos
- Calculadora de Seno (Graus e Radianos)
- Calculadora de Cosseno (Graus e Radianos)
- Calculadora de Tangente (Graus e Radianos)
- Calculadora Gráfica de Funções
Você pode explorar outras calculadoras aqui.