O círculo unitário é usado em matemática para encontrar relações das funções trigonométricas básicas de uma maneira mais fácil. Como o raio do círculo unitário é 1, isso facilita a aplicação do teorema de Pitágoras e resulta em coordenadas x equivalentes a cosseno e coordenadas y equivalentes a seno.
A seguir, aprenderemos mais detalhes sobre o círculo unitário usando diagramas. Conheceremos os valores das funções seno e cosseno dos ângulos mais importantes em termos de radianos.
O que é o círculo unitário?
Um círculo unitário é um círculo que tem um raio de 1. Por exemplo, a imagem abaixo mostra um círculo unitário.
O círculo unitário é usado em matemática para entender as relações das diferentes funções trigonométricas no plano cartesiano. Neste círculo, os valores de seno de um ângulo são equivalentes às coordenadas y e os valores de cosseno de um ângulo são equivalentes às coordenadas x.
Usando o teorema de Pitágoras sobre o círculo unitário, podemos relacionar as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente.
Fórmula do círculo unitário
A equação de um círculo é dada pela forma geral:
$latex {{(x-h)}^2}+{{(y-k)}^2}={{r}^2}$
onde, $latex (h, k)$ são as coordenadas do centro do círculo e r é o raio. Assim, $latex (x, y)$ representa os pontos do círculo que estão localizados a uma distância r do centro.
No caso do círculo unitário, o centro está localizado em (0, 0) e o raio é 1. Isso significa que a fórmula para o círculo unitário é:
$latex {{x}^2}+{{y}^2}=1$
Calcular funções trigonométricas usando o círculo unitário
Podemos calcular as funções trigonométricas usando o círculo unitário. Para isso, temos que aplicar o teorema de Pitágoras em um círculo unitário para relacionar as funções trigonométricas.
No diagrama abaixo, temos as funções trigonométricas representadas graficamente em um círculo unitário no plano coordenado.
No círculo unitário, o cosseno é equivalente à coordenada x e o seno é equivalente à coordenada y. Por exemplo, vamos ver o que acontece quando $latex \theta=0$.
Notamos que a coordenada x é 1 e a coordenada y é 0, então temos:
- $latex \cos(0)=1$
- $latex \sin(0)=0$
Agora, vamos ver o que acontece quando $latex \theta=90$°.
Neste caso, vemos que a coordenada x é 0 e a coordenada y é 1, então temos:
- $latex \cos(90)=0$
- $latex \sin(90)=1$
Isso pode ser estendido para vários ângulos, considerando as razões da coordenada x e da coordenada y.
Círculo unitário em radianos
Muitas vezes, medir ângulos em radianos é mais útil, especialmente em tópicos relacionados ao Cálculo. Por esse motivo, vamos encontrar vários valores no círculo unitário usando radianos. Lembre-se de que uma revolução completa do círculo unitário é igual a 360°, que é igual a 2π radianos.
Podemos converter os ângulos em radianos e expressar em radianos:
| Ângulo | Radianos | Seno | Cosseno |
| 0° | 0 | 0 | 1 |
| 30° | $latex \frac{\pi}{6}$ | $latex \frac{1}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| 45° | $latex \frac{\pi}{4}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ |
| 60° | $latex \frac{\pi}{3}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ | $latex \frac{1}{2}$ |
| 90° | $latex \frac{\pi}{2}$ | 1 | 0 |
Estes são os valores das funções trigonométricas no primeiro quadrante do círculo unitário. Os números $latex \frac{1}{2}$, $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$, $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$, 0 e 1 são repita levando em consideração os sinais dos 4 quadrantes:
Assim, os diagramas a seguir representam o círculo unitário com os valores das funções trigonométricas dos ângulos mais importantes.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
