Uma função inversa é uma função que inverte o efeito da função original. A tangente inversa é uma função que inverte o efeito da função tangente. Sabemos que com a função tangente podemos calcular o lado oposto se conhecermos o lado adjacente e o ângulo de um triângulo retângulo. Com a função tangente inversa, podemos encontrar a medida de um ângulo se conhecermos as medidas do lado oposto e do lado adjacente.
A seguir, aprenderemos como usar a função tangente inversa e aplicá-la para resolver alguns exercícios práticos.
Como encontrar a tangente inversa?
Para encontrar a tangente inversa, temos que encontrar o ângulo que resultaria no número desejado se obtivermos sua tangente. Por exemplo, se queremos encontrar a tangente inversa de 1, temos que nos perguntar “qual ângulo tem uma tangente de 1?”. A resposta é 45°, então concluímos que a tangente inversa de 1 é 45°.
Usamos a notação $latex {{\tan}^{-1}}$ para representar a tangente inversa. Observe que, neste caso, o “-1” não indica uma recíproca, mas sim indica que a função é inversa. Usando esta notação, teríamos $latex {{\tan}^{-1}}(1)=45$°.
Na verdade, existem mais ângulos que têm uma tangente igual a 1. No entanto, o que estamos perguntando é “qual é o ângulo mais simples que tem uma tangente igual a 1?” A resposta é 45°. Então, temos $latex {{\tan}^{-1}}(1)=45$° ou em radianos, temos $latex {{\tan}^{-1}}(1)=\frac{ \pi}{4}$.
A função tangente inversa também é conhecida como função arco tangente e podemos usar a notação “arctan(x)” para representá-la.
Gráfico da função tangente inversa
Uma função inversa é caracterizada pelo fato de que as coordenadas x e as coordenadas y da função são trocadas. Isso significa que na função tangente inversa, os valores x correspondem aos valores y da função tangente, e os valores y correspondem aos valores x.
O domínio da função tangente inversa é igual a todos os números reais. Isso significa que podemos usar qualquer número na entrada ou variável independente (geralmente x).
A imagem da função tangente inversa é igual a todos os números reais dentro de $latex -90^{\circ} <y<90^{\circ} $ ou em radianos, $latex -\frac{\pi}{2 }< y<\frac{\pi}{2}$. Isso significa que o ângulo resultante da tangente inversa deve estar dentro desse intervalo.
Exercícios de tangente inversa resolvidos
Os exercícios a seguir podem ser usados para aprender sobre as aplicações da tangente inversa. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas tente resolver os exercícios você mesmo antes de olhar para a resposta.
EXERCÍCIO 1
Use os lados do triângulo e uma calculadora para encontrar a medida do ângulo ∠A.
Solução
Podemos ver que em referência ao ângulo ∠A, temos as medidas do lado oposto e do lado adjacente. Assim, podemos formar uma relação com a tangente:
$latex \tan(A)=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}$
$latex \tan(A)=\frac{10}{15}$
Se usarmos a função tangente inversa, podemos escrever:
$latex {{\tan}^{-1}}(\frac{10}{15})=A$
$latex A=33,7$°
O ângulo A mede 33,7°.
EXERCÍCIO 2
Qual é o valor do ângulo A no triângulo a seguir?
Solução
Com relação ao ângulo ∠A, conhecemos o lado oposto e o lado adjacente, então usamos a tangente para formar a seguinte equação:
$latex \tan(A)=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}$
$latex \tan(A)=\frac{6}{12}$
Usando a função tangente inversa e uma calculadora, temos:
$latex {{\tan}^{-1}}(\frac{6}{12})=A$
$latex A=26,6$°
O ângulo A mede 26,6°.
EXERCÍCIO 3
Qual é a medida do ângulo B?
Solução
Com referência ao ângulo ∠B, temos os comprimentos do lado oposto e do lado adjacente, então usamos a tangente para encontrar a seguinte relação:
$latex \tan(B)=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}$
$latex \tan(B)=\frac{12}{6}$
Agora, usamos a tangente inversa para obter o seguinte usando uma calculadora:
$latex {{\tan}^{-1}}(\frac{12}{6})=B$
$latex B=63,4$°
O ângulo B mede 63,4°.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
