A tangente de um ângulo pode ser definida usando um triângulo retângulo. A tangente é igual ao comprimento do lado oposto ao ângulo dividido pelo comprimento do lado adjacente. Embora a tangente seja definida com os ângulos de um triângulo retângulo, a função tangente pode ser usada para qualquer ângulo.
A seguir, aprenderemos mais sobre a tangente de um ângulo. Conheceremos os valores da tangente de ângulos importantes e resolveremos alguns exercícios práticos
Definição da tangente de um ângulo
Seno e cosseno não são as únicas funções trigonométricas usadas com frequência. A tangente de um ângulo é outra função trigonométrica muito importante. A tangente é definida em termos do círculo unitário.
No diagrama abaixo, a tangente é o comprimento da linha vertical ED que é tangente ao círculo no ponto de tangência E. Além disso, D é o ponto onde a linha tangente intercepta o raio AD formado pelo ângulo.
Tangentes em termos de seno e cosseno
Os triângulos ABC e ADE no diagrama acima são semelhantes, então as proporções de seus lados são iguais. Isso significa que temos:
$latex \frac{ED}{AE}=\frac{CB}{AC}$
Observando o diagrama, vemos que temos $latex EA=\tan(A)$. Usamos o círculo unitário, então temos $latex AE=1$. Além disso, também temos as relações $latex CB=\sin(A)$ e $latex AC=\cos(A)$. Usando isso, encontramos a identidade fundamental:
| $latex \tan(A)=\frac{\sin(A)}{\cos(A)}$ |
Triângulos retângulos e tangentes
Semelhante a como seno e cosseno podem ser encontrados em termos dos lados de um triângulo retângulo, também podemos fazer o mesmo para tangentes. Vamos usar o triângulo retângulo ABC que tem um ângulo reto em C.
Podemos usar as relações que já vimos. Primeiro, temos $latex \tan(A)=\frac{\sin(A)}{\cos(A)}$. Também usamos as relações $latex \sin(A)=\frac{a}{c}$ e $latex \cos(A)=\frac{b}{c}$.
Usando isso, podemos dividir $latex \frac{a}{c}$ por $latex \frac{b}{c}$. Cancelando c no numerador e denominador, concluímos que $latex \tan(A)=\frac{a}{b}$. Isso significa que a tangente é igual ao lado oposto dividido pelo lado adjacente:
| $latex \tan(x)=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}$ |
Tangentes para ângulos especiais comuns
A tangente dos ângulos mais comuns é encontrada usando as razões dos lados de triângulos especiais e o fato de que a tangente é igual ao seno sobre o cosseno. Por exemplo, vamos usar um triângulo retângulo isósceles, que tem ângulos de 45°-45°-90°.
Podemos usar o teorema de Pitágoras: $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$. Neste caso, dois lados são iguais, ou seja, $latex a=b$. Então, temos $latex {{c}^2}=2{{a}^2}$. Isso significa que temos $latex c=a\sqrt{2}$.
Portanto, tanto o seno quanto o cosseno de 45° são iguais a $latex \frac{1}{\sqrt{2}}$ ou $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$. Como a tangente é igual ao seno sobre o cosseno, a tangente de 45° é igual a 1.
Também usamos o triângulo especial 30°-60°-90°. Este triângulo tem lados de razão 1:$latex \sqrt{3}$:2. Usando essas proporções, temos $latex \sin(30^{\circ})=\cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}$ e também temos $latex \sin(60^ {\circ})=\cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
| Graus | Radianos | Seno | Cosseno | Tangente |
| 90° | $latex \frac{\pi}{2}$ | 1 | 0 | Indefinido |
| 60° | $latex \frac{\pi}{3}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ | $latex \frac{1}{2}$ | $latex \sqrt{3}$ |
| 45° | $latex \frac{\pi}{4}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 |
| 30° | $latex \frac{\pi}{6}$ | $latex \frac{1}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
Resolvido exercícios de tangente de um ângulo
Os exercícios a seguir são resolvidos usando o que foi aprendido sobre as tangentes dos ângulos. Todos os exercícios referem-se ao triângulo retângulo visto acima.
EXERCÍCIO 1
Em um triângulo, temos $latex \tan(A)=1,2$ e $latex b=5$, qual é o valor de a?
Solução
Usamos o triângulo acima como referência. Então, temos a relação $latex \tan(A)=\frac{b}{a}$. Usando os valores dados nesta fórmula e resolvendo para c, temos:
$latex \tan(A)=\frac{b}{a}$
$latex 1,2=\frac{5}{a}$
$latex a=\frac{5}{1,2}$
$latex a=4,17$
O comprimento de a é 4,17.
EXERCÍCIO 2
Determine o valor de b se temos $latex a=11$ e $latex \tan(B)=0,78$.
Solução
Usamos o triângulo acima como referência e podemos obter a relação $latex \tan(B)=\frac{b}{a}$. Colocamos os valores dados nesta fórmula e resolvendo para c, temos:
$latex \tan(B)=\frac{b}{a}$
$latex 0,78=\frac{b}{11}$
$latex b=0,78(11)$
$latex b=8,58$
O comprimento de b é 8,58.
EXERCÍCIO 3
Determine a medida do ângulo A se temos $latex a=12$ e $latex b=8$.
Solução
Formamos a expressão $latex \tan(A)=\frac{a}{b}$. Então, usando os valores dados, temos:
$latex \tan(A)=\frac{a}{b}$
$latex \tan(A)=\frac{12}{8}$
$latex \tan(A)=1,5$
Agora, temos que usar a função $latex {{\tan}^{-1}}$ em uma calculadora para obter o resultado:
$latex {{\tan(1,5)}^{-1}}=56,3$°
O ângulo A mede 56,3°.
→ Calculadora de Tangente (Graus e Radianos)
Tangente de um ângulo – Exercícios para resolver
Use a fórmula tangente vista acima para resolver os seguintes exercícios práticos. Determine o comprimento de um lado ou a medida de um ângulo com as informações fornecidas.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
