O gráfico de tangente difere em comparação com os gráficos de seno e cosseno. Ao contrário do domínio do seno e do cosseno, o domínio da tangente não é igual a todos os números reais. A tangente é equivalente ao seno sobre o cosseno. Portanto, quando os valores do cosseno são iguais a 0, a tangente tende ao infinito. Isso significa que a tangente tem assíntotas quando os valores do cosseno são 0. Por outro lado, a imagem da tangente é igual a todos os números reais.
A seguir, aprenderemos a representar graficamente a função tangente básica e conheceremos as variações que podemos fazer para modificar seu gráfico.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre o gráfico da função tangente com exercícios.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre o gráfico da função tangente com exercícios.
Gráfico da função tangente básica
Lembre-se de que podemos escrever a tangente em termos de seno e cosseno: $latex \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Isso significa que a tangente será igual a zero quando o numerador (o seno) for igual a zero. Isso acontece em 0, π, 2π, 3π, etc, e em -π, -2π, -3π, etc.
A tangente será indefinida sempre que o denominador (o cosseno) for zero. Um zero no denominador significa que temos uma assíntota vertical.
Assim, o gráfico da tangente terá assíntotas verticais sempre que o cosseno for zero: em -π/2, π/2, 3π/2, etc. Podemos então usar um valor encontrado em cada porção do eixo x para determinar a posição do gráfico. O gráfico é desenhado tendo em conta que nunca cruza as assíntotas.
No gráfico, vemos que a função se repete em intervalos regulares de π. Isso significa que o período da tangente é π.
Domínio da função tangente
A função tangente tem um padrão que se repete indefinidamente tanto no lado x positivo quanto no lado x negativo. No entanto, a tangente pode ser escrita como $latex \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ e sabemos que não podemos ter zero no denominador, então cada vez que temos $latex \cos(x)=0$, a função é indefinida.
Isso acontece quando temos múltiplos de $latex \frac{\pi}{2}$. Portanto, o domínio são todos os números reais, exceto os múltiplos de $latex \frac{\pi}{2}$.
Imagem da função tangente
O gráfico da função tangente nos mostra claramente que a função pode resultar em qualquer valor de y. Isso significa que a imagem é igual a todos os números reais.
Gráficos de variações da função tangente
O gráfico da função tangente básica pode ser modificado para obter diferentes variações. Podemos modificá-lo alterando os diferentes parâmetros da forma geral da tangente. A forma geral da função tangente é:
$latex y=A~\tan(Bx-C)+D$
Cada um dos parâmetros da função tangente afeta diferentes características do gráfico resultante.
Determinar o alongamento vertical da função tangente
O alongamento vertical representa a mudança nos valores de y da função em relação à função original. Usando a forma tangente geral, o fator pelo qual a função é alongada verticalmente é encontrado usando |A|. Se A for maior que 1, o gráfico será esticado e se A estiver entre 0 e 1, o gráfico será comprimido.
Determinar o período da função tangente
O período da função tangente representa o intervalo após o qual a função se repete. O período da função tangente básica é π.
O parâmetro B na forma geral afeta o período da função. Podemos determinar o período usando a equação $latex P=\frac{\pi}{|B|}$. Quando o valor de B é maior que 1, a função é “acelerada” e o período é menor que π, então a função é comprimida horizontalmente.
Quando o valor de B é menor que 1, a função é “desacelerada” e o período é maior que π, então a função é esticada horizontalmente.
Determinar a fase da função tangente
A fase representa o deslocamento horizontal da função em relação à função tangente básica.
Para determinar a fase da função, reescrevemos a forma geral da função da seguinte forma: $latex y=A~\tan(B(x-\frac{C}{B})+D$. Nesta forma, a fase é igual a $latex \frac{C}{B}$. O gráfico é deslocado para a direita quando C>0. O gráfico é deslocado para a esquerda quando C<0.
Determinar o deslocamento vertical da função tangente
O deslocamento vertical é determinado pelo valor de D na forma geral da função tangente. Se tivermos um valor positivo de D, o gráfico é deslocado para cima. Se tivermos um valor negativo de D, o gráfico é deslocado para baixo.
Exercícios resolvidos de gráficos de tangentes
Os exercícios a seguir são resolvidos usando o que foi aprendido sobre os gráficos de tangentes e seus diferentes parâmetros. Tente resolver os exercícios antes de olhar para a resposta.
EXERCÍCIO 1
Qual é o gráfico da função $latex y=\tan(2x)+1$?
Solução
Para representar graficamente esta função, podemos compará-la com a forma geral para obter os diferentes parâmetros e os efeitos que terão no gráfico da função tangente básica:
- Alongamento vertical: $latex |A|=1$. O gráfico básico não é afetado.
- Período: $latex P=\frac{\pi}{|B|}=\frac{\pi}{2}$. O período é metade do gráfico básico. Isso significa que o gráfico será compactado horizontalmente.
- Fase: $latex \frac{C}{B}=0$. A função não é rolada horizontalmente.
- Translação vertical: $latex D=1$. O gráfico é deslocado verticalmente em 1 unidade.
Usando isso, podemos obter o gráfico da função:
EXERCÍCIO 2
Se tivermos a função $latex y=2\tan(\frac{1}{2}x-1)-1$, qual é o seu gráfico?
Solução
Podemos usar a forma geral para obter os diferentes parâmetros e as seguintes informações:
- Alongamento vertical: $latex |A|=2$. O gráfico é esticado verticalmente por um fator de 2.
- Período: $latex P=\frac{\pi}{|B|}=\frac{\pi}{\frac{1}{2}}=2\pi$. Isso é o dobro do período da função básica, então o gráfico será esticado horizontalmente.
- Fase: $latex \frac{C}{B}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$. O gráfico é movido 2 unidades para a direita.
- Translação vertical: $latex D=-1$. O gráfico é deslocado 1 unidade para baixo.
Aplicando essas transformações à função tangente básica, temos:
EXERCÍCIO 3
Qual é a equação da seguinte função tangente?
Solução
Podemos extrair as seguintes informações do gráfico:
- O gráfico não é esticado ou comprimido verticalmente. Isso significa que $latex A=1$.
- O gráfico tem um período de $latex \frac{\pi}{3}$. Então o parâmetro B deve ser 3.
- O gráfico não tem deslocamento horizontal, então C deve ser 0.
- O gráfico é deslocado 2 unidades para cima, então D é igual a 2.
Podemos determinar que a equação deste gráfico é:
$latex y=\tan(3x)+2$
EXERCÍCIO 4
Qual é a equação da seguinte função tangente?
Solução
Podemos obter as seguintes informações observando o gráfico da função:
- O gráfico é comprimido verticalmente. Comparado com a função tangente básica, os valores de y são metade, então $latex A=\frac{1}{2}$.
- O período da função é 2π, então temos $latex B=\frac{1}{2}$.
- Não temos nenhum deslocamento horizontal, então C deve ser 0.
- O gráfico é deslocado 1 unidade para baixo, então D é igual a -1.
Usando isso, concluímos que a equação do gráfico é:
$latex y=\frac{1}{2}\tan(\frac{1}{2}x)-1$
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
