Razões trigonométricas de ângulos notáveis

Razões trigonométricas de 45°

Para encontrar as razões trigonométricas de um ângulo de 45°, podemos considerar o seguinte triângulo retângulo isósceles:

Este triângulo tem dois ângulos com as mesmas medidas, então ambos os seus catetos têm o mesmo comprimento de 1 unidade.

Podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da hipotenusa:

$latex {{AB}^2}={{BC}^2}+{{AC}^2}$

$latex {{AB}^2}={{1}^2}+{{1}^2}$

$latex {{AB}^2}=2$

$latex AB=\sqrt{2}$

Agora, podemos usar o mesmo triângulo para obter os valores das razões trigonométricas, seno, cosseno e tangente:

Usando a definição de seno (lado oposto sobre a hipotenusa), temos:

$$\sin(45^{\circ})=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Usando a definição de cosseno (lado adjacente sobre a hipotenusa), temos:

$$\cos(45^{\circ})=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Usando a definição da tangente (lado oposto sobre o lado adjacente), temos:

$$\tan(45^{\circ})=\frac{AC}{BC}=1$$

Em resumo, temos o seguinte:

$$\sin(45^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\cos(45^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\tan(45^{\circ})=1$$

Razões trigonométricas de 30°

Para encontrar as razões trigonométricas do ângulo de 30°, vamos usar um triângulo equilátero com lados de 2 unidades.

D é o ponto onde o segmento perpendicular de A encontra a base. O segmento AD divide o triângulo equilátero em dois triângulos iguais que têm os ângulos 30°, 60° e 90°.

Podemos encontrar o comprimento do segmento AD usando o teorema de Pitágoras:

$latex {{AD}^2}+{{BD}^2}={{AB}^2}$

$latex {{AD}^2}+{{1}^2}={{2}^2}$

$latex {{AD}^2}+1=4$

$latex {{AD}^2}=3$

$latex AD=\sqrt{3}$

Usando a definição de seno (lado oposto sobre a hipotenusa), temos:

$$\sin(30^{\circ})=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$$

Usando a definição de cosseno (lado adjacente sobre a hipotenusa), temos:

$$\cos(30^{\circ})=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Usando a definição da tangente (lado oposto sobre o lado adjacente), temos:

$$\tan(30^{\circ})=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Em resumo, temos o seguinte:

$$\sin(30^{\circ})=\frac{1}{2}$$ $$\cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\tan(30^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Razões trigonométricas de 60°

Podemos encontrar as razões trigonométricas do ângulo de 60° usando o mesmo triângulo que usamos para encontrar as razões trigonométricas de 30°.

Então, usamos os comprimentos $latex AB=2$, $latex BD=1$ e $latex AD=\sqrt{3}$ com as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente.

Usando a definição de seno (lado oposto sobre a hipotenusa), temos:

$$\sin(60^{\circ})=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Usando a definição de cosseno (lado adjacente sobre a hipotenusa), temos:

$$\cos(60^{\circ})=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$$

Usando a definição da tangente (lado oposto sobre o lado adjacente), temos:

$$\tan(60^{\circ})=\frac{AD}{BD}=\sqrt{3}$$

Em resumo, temos o seguinte:

$$\sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}$$ $$\tan(60^{\circ})=\sqrt{3}$$

Tabela das razões trigonométricas de ângulos notáveis

As razões trigonométricas dos ângulos 30°, 45° e 60° estão resumidas na tabela a seguir:

Razão	θ = 30°	θ = 30°	θ = 30°
sin θ	$latex \frac{1}{2}$	$latex \frac{1}{\sqrt{2}}$	$latex \frac{\sqrt{3}}{2}$
cos θ	$latex \frac{\sqrt{3}}{2}$	$latex \frac{1}{\sqrt{2}}$	$latex \frac{1}{2}$
tan θ	$latex \frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$latex \sqrt{3}$

É uma boa ideia memorizar essas razões trigonométricas, pois vários problemas encontrados em trigonometria usam os ângulos de 30°, 45° e 60°.

Veja também

Interessado em aprender mais sobre ângulos e triângulos especiais? Veja estas páginas:

• Triângulos Especiais – Fórmulas e Exercícios
• Ângulo entre duas retas – Fórmulas e exercícios
• Desigualdade Triangular – Definição, Prova e Exemplos
• Triângulos semelhantes e congruentes com exercícios