Identidades Trigonométricas Pitagóricas

Identidades Pitagóricas são identidades em trigonometria que são extensões do teorema de Pitágoras. As identidades Pitagóricas são úteis para simplificar expressões trigonométricas. Essas identidades são especialmente úteis para escrever expressões como uma função de seno ou cosseno, como as fórmulas de ângulo duplo.

A seguir, conheceremos as identidades de Pitágoras e aprenderemos a derivá-las a partir do teorema de Pitágoras. Em seguida, veremos alguns exercícios práticos onde aplicaremos essas identidades.

TRIGONOMETRIA
identidades pitagóricas

Relevante para

Aprender sobre identidades pitagóricas com exercícios.

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Quais são as identidades pitagóricas?

As identidades pitagóricas são equações que contem funções trigonométricas, verdadeiras para todos os valores substituídos nas variáveis. As identidades trigonométricas são especialmente úteis para simplificar expressões trigonométricas. As identidades Pitagóricas são derivadas do teorema de Pitágoras:

$latex {{\sin}^2} (\theta)+{{\cos}^2} (\theta)=1$

Esta é a identidade pitagórica mais importante. Essa identidade é verdadeira para todos os valores de θ. Usando essa primeira identidade, podemos criar duas identidades Pitagóricas adicionais:

$latex {{\tan}^2} (\theta)+1={{\sec}^2} (\theta)$

$latex 1+{{\cot}^2} (\theta)={{\csc}^2} (\theta)$

onde “tan” representa a função tangente, “sec” representa a função secante, “cot” representa a função cotangente e “csc” representa a função cossecante.


Como derivar as identidades pitagóricas?

Podemos derivar as identidades pitagóricas usando o círculo unitário. Lembre-se que o círculo unitário é um círculo com raio 1. Neste triângulo, as coordenadas x são representadas por $latex \cos(\theta)$ e as coordenadas y são representadas por $latex \sin(\theta)$ como mostrado no diagrama a seguir:

seno e cosseno-em-um-círculo unitário

Vemos que os catetos do triângulo retângulo no círculo unitário têm os valores de $latex \sin(\theta)$ e $latex \cos(\theta)$. Além disso, a hipotenusa do triângulo é o raio do círculo, que é igual a 1. Então, usando o teorema de Pitágoras, temos:

$latex {{\sin}^2}(\theta)+{{\cos}^2}(\theta)=1$

Esta é a principal identidade Pitagórica. Usando essa identidade, podemos derivar duas identidades adicionais.

Começamos com a primeira identidade Pitagórica:

$latex {{\sin}^2}(\theta)+{{\cos}^2}(\theta)=1$

Dividimos cada termo por $latex {{\cos}^2}(\theta)$:

$$\frac{{{\sin}^2}(\theta)}{{{\cos}^2}(\theta)}+\frac{{{\cos}^2}(\theta)}{{{\cos}^2}(\theta)}=\frac{1}{{{\cos}^2}(\theta)}$$

Agora, sabemos que temos $latex \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\tan(\theta)$ e $latex \frac{1}{\cos(\theta) }= \sec(\theta)$. Então, substituindo e simplificando, temos:

$latex {{\tan}^2}(\theta)+1={{\sec}^2}(\theta)$

Se dividirmos por um valor diferente, podemos encontrar a terceira identidade Pitagórica. Começamos com a primeira identidade Pitagórica:

$latex {{\sin}^2}(\theta)+{{\cos}^2}(\theta)=1$

Dividimos cada termo por $latex {{\sin}^2}(\theta)$:

$$\frac{{{\sin}^2}(\theta)}{{{\sin}^2}(\theta)}+\frac{{{\cos}^2}(\theta)}{{{\sin}^2}(\theta)}=\frac{1}{{{\sin}^2}(\theta)}$$

Agora, podemos usar as relações $latex \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}=\cot(\theta)$ e $latex \frac{1}{\sin(\theta) } =\csc(\theta)$. Então, substituindo e simplificando, temos:

$latex 1+{{\cot}^2}(\theta)={{\csc}^2}(\theta)$


Exercícios resolvidos de identidade Pitagóricas

As identidades Pitagóricas derivadas acima são usadas para resolver os exercícios a seguir. Tente resolver os exercícios antes de olhar para a resposta.

EXERCÍCIO 1

Simplifique a expressão $latex \sin(x){{\cos}^2}(x)-\sin(x)$ usando as identidades Pitagóricas.

Solução

EXERCÍCIO 2

Expresse a expressão trigonométrica $latex {{\csc}^2}(x)-\cot(x)-3$ na forma fatorada.

Solução

EXERCÍCIO 3

Simplifique a expressão trigonométrica $$({{\sec}^2}(x))(1-{{\sin}^2}(x))-(\frac{\sin(x)}{\csc(x) )}+\frac{\cos(x)}{\sec(x)})$$

Solução

EXERCÍCIO 4

Se temos $latex \tan(\theta)=\frac{1}{3}$, qual é o valor de $latex \frac{1}{{{\sin}^2}(\theta) }+\frac{1}{{{\cos}^2}(\theta)}$?

Solução

Veja também

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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