As identidades de adição e subtração de ângulos são identidades trigonométricas usadas para calcular valores de ângulos. Essas identidades podem ser usadas para reescrever os ângulos como uma soma ou diferença de ângulos comuns. Por exemplo, para calcular o seno ou cosseno de 15°, podemos reescrever 15 como a subtração de 45 e 30, pois os valores de seno e cosseno de 45° e 30° são os mais comuns e geralmente conhecidos.
A seguir, aprenderemos como derivar as identidades de adição e subtração de ângulos e aplicá-las para resolver alguns exercícios práticos.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Conhecer e aplicar as identidades de adição e subtração de ângulos.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Conhecer e aplicar as identidades de adição e subtração de ângulos.
Quais são as identidades de adição e subtração de ângulos?
As identidades de adição e subtração de ângulos são identidades trigonométricas, que podem ser usadas para encontrar os valores de funções trigonométricas de qualquer ângulo.
No entanto, o uso mais prático dessas identidades é encontrar os valores exatos de um ângulo que pode ser escrito como uma soma ou diferença de valores familiares para seno, cosseno e tangente dos ângulos 30°, 45°, 60 °, 90 ° e seus múltiplos.
As identidades da soma dos ângulos são:
| $latex \sin(A+B)=\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)$ $latex \cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)$ $latex \tan(A+B)=\frac{\tan(A)+\tan(B)}{1-\tan(A)\tan(B)}$ |
As identidades da subtração de ângulos são:
| $latex \sin(A-B)=\sin(A)\cos(B)-\cos(A)\sin(B)$ $latex \cos(A-B)=\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B)$ $latex \tan(A-B)=\frac{\tan(A)-\tan(B)}{1+\tan(A)\tan(B)}$ |
Exercícios resolvidos de identidades de adição e subtração de ângulos
Os exercícios a seguir são resolvidos aplicando as identidades de adição e subtração de ângulos seno, cosseno e tangente. Tente resolver os exercícios antes de olhar para a resposta.
EXERCÍCIO 1
Encontre o valor exato do cosseno de 75° usando uma identidade de soma de ângulos.
Solução
Podemos usar a identidade da soma dos ângulos dos cossenos, pois 75° é igual à soma de 30° e 45°. Então temos:
$$\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)$$
$$\cos(30+45)=\cos(30)\cos(45)-\sin(30)\sin(45)$$
$latex =\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$latex =\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}$
$latex =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
O valor de cos 75° é $latex \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
EXERCÍCIO 2
Use uma identidade de subtração de ângulos para encontrar o valor exato do seno de 15°.
Solução
Podemos usar a identidade da diferença dos ângulos dos senos, pois 15° é igual à diferença de 45° e 30°. Então temos:
$$\sin(A-B)=\sin(A)\cos(B)-\cos(A)\sin(B)$$
$$\sin(45-30)=\sin(45)\cos(30)-\cos(45)\sin(30)$$
$latex =\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}$
$latex =\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}$
$latex =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
Isso significa que o valor exato do seno de 15° é $latex \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
EXERCÍCIO 3
Encontre o valor exato de $latex \cos(\frac{7\pi}{12})$ usando uma identidade de soma de ângulos.
Solução
Usamos a soma da identidade dos cossenos, pois podemos expressar o ângulo como uma soma de ângulos fácil:
$latex \cos(\frac{7\pi}{12})=\cos(\frac{4\pi}{12}+\frac{3\pi}{12})$
$latex =\cos(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4})$
Usando esses ângulos na fórmula, temos:
$$\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)$$
$$\cos(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4})=\cos(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4})-\sin(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4})$$
$latex =\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$latex =\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}$
$latex =\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
Isso significa que o cosseno exato de $latex \frac{7\pi}{12}$ é $latex \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.
Exercícios de identidades de adição e subtração de ângulos para resolver
Aplique as fórmulas para as identidades de adição e subtração dos ângulos seno e cosseno para resolver os seguintes exercícios práticos. Selecione uma resposta e verifique-a para ter certeza de que acertou.
Veja também
Interessado em aprender mais sobre identidades trigonométricas? Veja estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
