Funções trigonométricas do arco duplo

Quais são as fórmulas para funções trigonométricas do arco duplo?

As funções trigonométricas do arco duplo são identidades trigonométricas que são usadas quando temos uma função trigonométrica que tem uma entrada igual a duas vezes um determinado ângulo. Por exemplo, podemos usar essas identidades para calcular $latex \sin(2\theta)$.

Então, se temos o valor de θ e precisamos encontrar $latex \sin(2\theta)$, podemos usar estas fórmulas para simplificar o problema.

A seguir está a fórmula que expressa a identidade de arco duplo para seno:

$latex \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$

A seguir está a fórmula que expressa a identidade de arco duplo para o cosseno. Essa identidade pode ter duas variações adicionais que são obtidas usando a identidade pitagórica:

$latex \cos(2x)={{\cos}^2}(x)-{{\sin}^2}(x)$ $latex =2{{\cos}^2}(x)-1$ $latex =1-2{{\sin}^2}(x)$

A seguir está a fórmula que expressa a identidade de arco duplo para a tangente:

$latex \tan(2x)=\frac{2\tan(x)}{1-{{\tan}^2}(x)}$

Como derivar as fórmulas para funções trigonométricas do arco duplo?

As as fórmulas para funções trigonométricas do arco duplo são derivadas usando as identidades de adição de ângulos.

No caso da soma dos ângulos em um seno, temos:

$$\sin(\alpha + \beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$$

Se α e β fossem o mesmo ângulo, teríamos:

$$\sin(\alpha + \alpha)=\sin(\alpha)\cos(\alpha)+\cos(\alpha)\sin(\alpha)$$

$latex \sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Esta é a identidade de ângulo duplo para o seno. Usando o mesmo processo, encontramos a identidade de arco duplo para o cosseno. Então, começamos com a identidade da soma do ângulo cosseno:

$$\cos(\alpha + \beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$$

Agora, usamos o mesmo ângulo e temos:

$$\cos(\alpha + \alpha)=\cos(\alpha)\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\sin(\alpha)$$

$latex \cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)$

Podemos derivar duas variações adicionais dessa identidade usando a identidade pitagórica, $latex {{\sin}^2}(\alpha)+{{\cos}^2}(\alpha)=1$. Esta identidade pode ser escrita como $latex {{\sin}^2}(\alpha)=1-{{\cos}^2}(\alpha)$ e $latex {{\cos}^2}(\alpha )=1-{{\sin}^2}(\alpha)$.

Se usarmos $latex {{\sin}^2}(\alpha)=1-{{\cos}^2}(\alpha)$, teremos:

$latex \cos(2\alpha)={{\cos}^2}(\alpha)-{{\sin}^2}(\alpha)$

$latex ={{\cos}^2}(\alpha)-(1-{{\cos}^2}(\alpha))$

$latex ={{\cos}^2}(\alpha)-1+{{\cos}^2}(\alpha))$

$latex =2{{\cos}^2}(\alpha)-1$

Se usarmos $latex {{\cos}^2}(\alpha)=1-{{\sin}^2}(\alpha)$, teremos:

$latex \cos(2\alpha)={{\cos}^2}(\alpha)-{{\sin}^2}(\alpha)$

$latex =1-{{\sin}^2}(\alpha)-{{\sin}^2}(\alpha)$

$latex =1-2{{\sin}^2}(\alpha)$

Agora, usamos a fórmula de identidade da soma do ângulo tangente para calcular sua fórmula de arco duplo. Então, começamos com:

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}$$

Se tivermos o mesmo ângulo, a fórmula se torna:

$$\tan(\alpha+\alpha)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\alpha)}{1-\tan(\alpha)\tan(\alpha)}$$

$$\tan(2\alpha)=\frac{2\tan(\alpha)}{1-{{\tan}^2}(\alpha)}$$

Exercícios resolvidos de funções trigonométricas do arco duplo

As funções trigonométricas do arco duplo de seno, cosseno e tangente são usadas para resolver os exercícios a seguir. Tente resolver os exercícios antes de olhar para a resposta.

Exercícios de funções trigonométricas do arco duplo para resolver

Use os exercícios a seguir para praticar o uso das Funções trigonométricas do arco duplo. Se precisar de ajuda com isso, consulte os exercícios resolvidos.

Veja também

Interessado em aprender mais sobre identidades trigonométricas? Veja estas páginas:

• Identidades Trigonométricas Pitagóricas
• Identidades Trigonométricas Recíprocas
• Identidades Trigonométricas de Quociente
• Identidades de Adição e Subtração de ângulos com Exercícios
• Funções trigonométricas do arco metade