Identidades de quociente são identidades trigonométricas que são escritas como frações das funções seno e cosseno. A tangente forma uma identidade de quociente e pode ser escrita como o seno do ângulo dividido pelo cosseno. Da mesma forma, a cotangente pode ser escrita como o cosseno do ângulo dividido pelo seno.
A seguir, conheceremos a origem das identidades trigonométricas de quociente. Em seguida, usaremos essas identidades para resolver alguns exercícios práticos.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre identidades de trigonométricas de quociente com exercícios.
TRIGONOMETRIA
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Aprender sobre identidades de trigonométricas de quociente com exercícios.
Quais são as identidades trigonométricas de quociente?
As identidades de quociente são as identidades trigonométricas escritas em termos das funções trigonométricas fundamentais, seno e cosseno.
Considere as funções seno, cosseno e tangente. Se definirmos essas funções em um triângulo retângulo, teremos o seguinte:
$latex \sin(\theta)=\frac{O}{H}$
$latex \cos(\theta)=\frac{A}{H}$
$latex \tan(\theta)=\frac{O}{A}$
onde O é o lado oposto ao ângulo, A é o lado adjacente ao ângulo e H é a hipotenusa do triângulo.
Dadas essas definições, podemos mostrar que $latex \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$, desde que $latex \cos(\theta)\neq 0 $:
$latex \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\frac{\frac{O}{H}}{\frac{A}{H}}$
$latex =\frac{O}{A}=\tan(\theta)$
Verificamos que podemos escrever a função tangente como o seno do ângulo dividido pelo cosseno.
Além disso, como a cotangente é a identidade recíproca da tangente, podemos escrever a cotangente como o cosseno do ângulo dividido pelo seno. Então, temos duas identidades de quociente:
| $latex \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ $latex \cot(\theta)=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$ |
Exercícios resolvidos de identidades de quociente
As identidades trigonométricas de quociente são usadas para resolver os exercícios a seguir. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas tente resolver os exercícios você mesmo antes de olhar para a resposta.
EXERCÍCIO 1
Se temos os valores $latex \cos(\theta)=\frac{3}{11}$ e $latex \sin(\theta)=\frac{5}{11}$, qual é o valor de $latex \tan(\theta)$?
Solução
Usamos a identidade de quociente para a tangente para resolver este problema. Então, temos que dividir o valor do seno pelo valor do cosseno:
$latex \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$
$latex \tan(\theta)=\frac{\frac{5}{11}}{\frac{3}{11}}$
$latex \tan(\theta)=\frac{5}{3}$
EXERCÍCIO 2
Mostre que a identidade $latex \cot(\theta)=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$ é verdadeira.
Solução
Para provar que a identidade dada é verdadeira, podemos usar as definições de seno, cosseno e tangente em termos de um triângulo retângulo.
Então, sabemos que cosseno é definido como o lado adjacente (A) sobre hipotenusa (H) e seno é definido como o lado oposto (O) sobre hipotenusa, então temos:
$latex \cot(\theta)=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$
$latex \cot(\theta)=\frac{\frac{A}{H}}{\frac{O}{H}}$
$latex \cot(\theta)=\frac{A}{O}$
Temos que a cotangente é igual ao lado adjacente dividido pelo lado oposto, o que é correto, pois a cotangente é a função recíproca da tangente.
EXERCÍCIO 3
Temos os valores $latex \cos(\theta)=\frac{5}{7}$ e $latex \sin(\theta)=\frac{2}{7}$. Determine o valor de $latex \cot(\theta)$.
Solução
Neste caso, temos a função cotangente, então sabemos que podemos calcular seu valor dividindo o valor do cosseno pelo valor do seno. Então temos:
$latex \cot(\theta)=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$
$latex \cot(\theta)=\frac{\frac{5}{7}}{\frac{2}{7}}$
$latex \cot(\theta)=\frac{5}{2}$
EXERCÍCIO 4
Qual é o valor de $latex \sin(\theta)$ se temos os valores $latex \tan(\theta)=\frac{12}{5}$ e $latex \cos(\theta)=\frac{5}{9}$?
Solução
Novamente temos a função tangente, porém neste caso temos que encontrar o valor do seno. Usamos a identidade de quociente para a tangente e resolvemos para o seno:
$latex \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$
$latex \frac{12}{5}=\frac{\sin(\theta)}{\frac{5}{9}}$
$latex \sin(\theta)=(\frac{12}{5})(\frac{5}{9})$
$latex \sin(\theta)=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$
Exercícios de identidades de quociente para resolver
Resolva os exercícios a seguir aplicando o que você aprendeu sobre identidades de quociente. Selecione uma resposta e verifique-a para ter certeza de que acertou a solução.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
