Já nos familiarizamos com as funções trigonométricas de seno, cosseno e tangente. Essas funções são escritas como frações relativas aos lados de um triângulo retângulo. Também sabemos que o recíproco de uma fração é igual à fração original com seu numerador e denominador trocados de lugar. Então, as identidades recíprocas são formadas trocando o numerador e denominador de cosseno, seno e tangente para formar as funções secante, cossecante e cotangente, respectivamente.
A seguir, aprenderemos mais sobre identidades recíprocas trigonométricas e as usaremos para resolver alguns exercícios práticos.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre as identidades recíprocas com exercícios.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre as identidades recíprocas com exercícios.
Quais são as identidades recíprocas?
As identidades recíprocas são identidades trigonométricas que são definidas em relação às funções trigonométricas fundamentais, seno, cosseno e tangente. Um recíproco da fração $latex \frac{a}{b}$ é a fração $latex \frac{b}{a}$. Isso significa que encontramos o recíproco de uma fração trocando as posições do numerador e do denominador.
Consideremos a função seno para o ângulo θ. Esta função é definida como o lado oposto dividido pela hipotenusa. Então, temos $latex \sin(\theta)=\frac{O}{H}$. A função cossecante é definida como $latex \csc(\theta)=\frac{H}{O}$.
Isso significa que essas duas funções são recíprocas. Assim, o valor do seno de um ângulo é sempre igual ao inverso do valor da cossecante e vice-versa. Por exemplo, se temos $latex \sin(\theta)=\frac{1}{2}$, então também temos $latex \csc(\theta)=2$.
Da mesma forma, a função cosseno e a função secante são recíprocas, e a função tangente e a função cotangente também são recíprocas. Então temos as seguintes identidades recíprocas:
| $latex \csc(\theta)=\frac{1}{\sin(\theta)}$ $latex \sec(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)}$ $latex \cot(\theta)=\frac{1}{\tan(\theta)}$ |
Exercícios resolvidos de identidades recíprocas
As identidades recíprocas são usadas para resolver os exercícios a seguir. Cada um dos exercícios tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você mesmo tente resolver os exercícios.
EXERCÍCIO 1
Se temos $latex \cos(\theta)=0,2$, qual é o valor de $latex \sec(\theta)$?
Solução
As funções cosseno e secante são recíprocas, então sabemos que podemos “inverter” a fração do valor do cosseno para encontrar o valor da secante. Para facilitar, escrevemos o cosseno como uma fração:
$latex \cos(\theta)=0,2=\frac{2}{10}$
Então temos:
$latex \sec(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)}$
$latex =\frac{10}{2}$
EXERCÍCIO 2
Se temos $latex \cot(\theta)=\frac{5}{3}$, qual é o valor de $latex \tan(\theta)$?
Solução
As funções tangente e cotangente são recíprocas. Assim, podemos encontrar o valor da tangente “inverter” a fração do valor da cotangente. Então temos:
$latex \cot(\theta)=\frac{5}{3}$
⇒ $latex \tan(\theta)=\frac{3}{5}$
EXERCÍCIO 3
Verifique a identidade $latex \tan(\theta)+\cot(\theta)=\sec(\theta)\csc(\theta)$.
Solução
Podemos reescrever tudo em termos de seno e cosseno, lembrando que a função tangente é igual ao seno dividido pelo cosseno. Então temos:
$latex \tan(\theta)+\cot(\theta)=\sec(\theta)\csc(\theta)$
$latex \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}+\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}=\frac{1}{\cos(\theta)}\cdot \frac{1}{\sin(\theta)}$
Podemos somar as frações à esquerda formando o denominador comum $latex \cos(\theta)\sin(\theta)$:
$latex \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}+\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}=\frac{1}{\cos(\theta)}\cdot \frac{1}{\sin(\theta)}$
$latex \frac{{{\sin}^2}(\theta)+{{\cos}^2}(\theta)}{\sin(\theta)\cos(\theta)}=\frac{1}{\cos(\theta)}\cdot \frac{1}{\sin(\theta)}$
$latex \frac{1}{\sin(\theta)\cos(\theta)}=\frac{1}{\cos(\theta)}\cdot \frac{1}{\sin(\theta)}$
No último passo, usamos a identidade pitagórica principal $latex {{\sin}^2}(\theta)+{{\cos}^2}(\theta)=1$. Vemos que obtivemos a mesma expressão em ambos os lados. Isso significa que a identidade dada é verdadeira.
Exercícios de identidade recíproca para resolver
Resolva os seguintes exercícios práticos usando as identidades recíprocas. Se você precisar de ajuda com isso, veja os exercícios resolvidos acima.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
