A lei dos cossenos é a relação entre os comprimentos dos lados de um triângulo em relação ao cosseno de seu ângulo. A lei dos cossenos nos diz que o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros lados menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo do meio. Esta lei é usada quando queremos encontrar o comprimento de um terceiro lado e conhecemos os comprimentos dos dois lados e o ângulo entre eles.
A seguir, conheceremos a fórmula da lei dos cossenos. Vamos aprender como derivar esta fórmula e aplicá-la para resolver alguns exercícios práticos.
Fórmula da lei dos cossenos
A lei dos cossenos relaciona os comprimentos de dois lados ao seu ângulo intermediário para encontrar o comprimento de um terceiro lado. As fórmulas para a lei dos cossenos de um triângulo ABC são dadas por:
| $latex {{a}^2}={{b}^2}+{{c}^2}-2bc\cos(\alpha)$ $latex {{b}^2}={{a}^2}+{{c}^2}-2ac\cos(\beta)$ $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}-2ab\cos(\gamma)$ |
Aqui, a, b, c são os comprimentos dos lados do triângulo e α, β, γ são os ângulos do triângulo ABC mostrado no diagrama abaixo.
Quando se aplica a lei dos cossenos?
Usando as funções trigonométricas básicas como seno, cosseno e tangente, podemos encontrar informações adicionais sobre triângulos. A lei dos cossenos se aplica nas seguintes situações:
- Quando temos os comprimentos de dois lados e seu ângulo intermediário e queremos encontrar o comprimento do terceiro lado.
- Quando temos os comprimentos dos três lados do triângulo e queremos encontrar a medida de qualquer ângulo.
Assim, um exemplo de aplicação da lei dos cossenos é encontrar o comprimento do lado c no triângulo a seguir se soubermos os comprimentos de a e b, e a medida do ângulo γ.
Como provar a lei dos cossenos?
Para provar a lei dos cossenos, vamos usar o seguinte triângulo:
Podemos usar a função cosseno no triângulo BCD. Lembre-se que o cosseno de um ângulo é igual ao lado adjacente dividido pela hipotenusa. Então temos:
$latex \cos(C)=\frac{CD}{a}$
$latex CD=a~\cos(C)$
Podemos encontrar o comprimento de DA subtraindo CD de b:
$latex DA=b-CD$
$latex DA=b-a~\cos(C)$
Agora, usamos a função seno no triângulo BCD. Lembre-se que o seno de um ângulo é igual ao lado oposto dividido pela hipotenusa. Então temos:
$latex \sin(C)=\frac{BD}{a}$
$latex BD=a~\sin(C)$
Aplicamos o teorema de Pitágoras no triângulo ADB:
$latex {{c}^2}={{BD}^2}+{{DA}^2}$
Usamos as expressões para BD e DA que obtivemos anteriormente e as substituímos nesta equação:
$latex {{c}^2}={{(a~\sin(C))}^2}+{{(b-a~\cos(C))}^2}$
Expandindo o lado direito, temos:
$$ {{c}^2}={{a}^2}{{\sin}^2}(C)+{{b}^2}-2ab\cos(C)+{{a}^2}{{\cos}^2}(C)$$
Reorganizando esta equação e extraindo o fator comum $latex {{a}^2}$, temos:
$${{c}^2}={{a}^2}{{\sin}^2}(C)+{{a}^2}{{\cos}^2}(C)+{{b}^2}-2ab\cos(C)$$
$${{c}^2}={{a}^2}({{\sin}^2}(C)+{{\cos}^2}(C))+{{b}^2}-2ab\cos(C)$$
Podemos simplificar esta equação usando a identidade $latex {{\sin}^2}(\theta)+{{\cos}^2}(\theta)=1$. Então temos:
$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}-2ab\cos(C)$
Com isso, provamos a lei dos cossenos.
Exercícios resolvidos da lei dos cossenos
Os exercícios a seguir são resolvidos aplicando as fórmulas da lei dos cossenos. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você mesmo tente resolver os exercícios antes de ver a resposta.
EXERCÍCIO 1
Qual é o comprimento do lado c se temos comprimentos a=6 e b=7 e ângulo C=40°?
Solução
Começamos identificando as seguintes informações:
- a=6
- b=7
- C=40°
Usando a lei dos cossenos, temos:
$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}-2ab~\cos(C)$
$latex {{c}^2}={{6}^2}+{{7}^2}-2(6)(7)~\cos(40)$
$latex {{c}^2}=36+49-64,35$
$latex {{c}^2}=20,65$
$latex c=4,54$
O comprimento de c é 4,54.
EXERCÍCIO 2
Se temos comprimentos b=10 e c=8 e ângulo A=25°, qual é o comprimento do lado a?
Solução
Podemos identificar o seguinte:
- b=10
- c=8
- A=25°
Usando a lei dos cossenos, temos:
$latex {{a}^2}={{b}^2}+{{c}^2}-2bc~\cos(A)$
$latex {{a}^2}={{10}^2}+{{8}^2}-2(10)(8)~\cos(25)$
$latex {{a}^2}=100+64-145$
$latex {{a}^2}=19$
$latex a=4,36$
O comprimento de a é 4,36.
EXERCÍCIO 3
Temos um triângulo com lados de comprimento a=5, b=7 e c=6. Qual é a medida do ângulo A?
Solução
Temos o seguinte:
- a=5
- b=7
- c=6
Neste caso, temos que usar a lei dos cossenos para encontrar um ângulo. Então temos:
$latex {{a}^2}={{b}^2}+{{c}^2}-2bc~\cos(A)$
$latex {{5}^2}={{7}^2}+{{6}^2}-2(7)(6)~\cos(A)$
$latex 25=49+36-2(7)(6)~\cos(A)$
$latex 25=85-84~\cos(A)$
$latex 84~\cos(A)=60$
$latex A={{\cos}^{-1}}(\frac{60}{84})$
$latex A=44,4$°
O ângulo A mede 44,4°.
EXERCÍCIO 4
Em um triângulo, temos lados a = 10, b = 12 e c = 8. Qual é a medida do ângulo C?
Solução
Podemos extrair as seguintes informações:
- a=10
- b=12
- c=8
Usamos a lei dos cossenos e resolvemos para o ângulo C:
$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}-2ab~\cos(C)$
$latex {{8}^2}={{10}^2}+{{12}^2}-2(10)(12)~\cos(C)$
$latex 64=100+144-2(10)(12)~\cos(C)$
$latex 64=244-240~\cos(C)$
$latex 240~\cos(C)=180$
$latex C={{\cos}^{-1}}(\frac{180}{240})$
$latex C=41,4$°
O ângulo C mede 41,4°.
Exercícios da lei dos cossenos para resolver
Use a fórmula da lei dos cossenos para resolver os seguintes exercícios práticos. Selecione uma resposta e clique em “Verificar” para verificar se você acertou.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
