As leis dos senos e cossenos são relações que nos permitem encontrar o comprimento de um lado de um triângulo ou a medida de um de seus ângulos. Dependendo da informação disponível, podemos usar a lei dos senos ou a lei dos cossenos. A lei dos senos relaciona o comprimento de um lado ao seno de seu ângulo, e a lei dos cossenos relaciona o comprimento de dois lados do triângulo ao seu ângulo intermediário.
A seguir, conheceremos as fórmulas da lei dos senos e da lei dos cossenos. Aprenderemos a diferenciar as situações em que podemos usar a lei dos senos das situações em que podemos usar a lei dos cossenos. Além disso, veremos alguns exercícios práticos.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre a lei dos senos e cossenos com exercícios.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre a lei dos senos e cossenos com exercícios.
Qual é a fórmula da lei dos senos?
A fórmula da lei dos senos é uma equação que relaciona os lados de um triângulo aos senos de seus respectivos ângulos. A seguinte é a fórmula da lei dos senos:
| $latex \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}$ |
onde, a, b, c representam os comprimentos dos lados do triângulo e A, B, C representam os ângulos do triângulo.
Ângulos denotam seus lados opostos. Isso significa que a é o lado oposto ao ângulo A, b é o lado oposto ao ângulo B e c é o lado oposto ao ângulo C como podemos ver no triângulo a seguir.
Qual é a fórmula da lei dos cossenos?
A fórmula para a lei dos cossenos é uma equação que relaciona os comprimentos de dois lados de um triângulo com o ângulo entre os dois lados. A fórmula da lei dos cossenos é:
| $latex {{a}^2}={{b}^2}+{{c}^2}-2bc\cos(\alpha)$ $latex {{b}^2}={{a}^2}+{{c}^2}-2ac\cos(\beta)$ $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}-2ab\cos(\gamma)$ |
onde, a, b, c representam os comprimentos dos lados do triângulo e α, β, γ representam os ângulos do triângulo conforme mostrado na imagem abaixo.
Quando usar a lei dos senos e quando usar a lei dos cossenos?
A lei dos senos pode ser usada quando temos as seguintes situações:
- Queremos calcular o comprimento de um lado e sabemos a medida de dois ângulos e o comprimento de um lado.
- Queremos calcular um ângulo e sabemos a medida de dois lados e um ângulo.
Para usar a lei dos senos, temos que relacionar os ângulos com seus lados opostos. Por exemplo, podemos aplicar a lei dos senos no triângulo a seguir se quisermos encontrar o comprimento do lado b e soubermos a medida dos ângulos A, B e o comprimento do lado a.
Alternativamente, também podemos aplicar a lei dos senos se quisermos encontrar a medida do ângulo A e conhecermos os comprimentos dos lados a, b e a medida do ângulo B.
A lei dos cossenos pode ser usada quando temos as seguintes situações:
- Queremos encontrar o comprimento de um lado e sabemos os comprimentos de dois lados e seus ângulos intermediários.
- Queremos encontrar a medida de qualquer ângulo e sabemos os comprimentos de todos os três lados do triângulo.
Para usar a lei dos cossenos, sempre usamos o ângulo entre os dois lados conhecidos. Por exemplo, podemos aplicar a lei dos cossenos se quisermos encontrar o comprimento do lado c no triângulo a seguir e conhecermos os comprimentos de a e b e a medida do ângulo γ.
Exercícios resolvidos da lei dos senos e cossenos
Os exercícios a seguir são resolvidos usando as leis dos senos e cossenos. Cada exercício tem sua respectiva resposta, mas é recomendável que você mesmo tente resolver os exercícios antes de olhar para a solução.
EXERCÍCIO 1
Temos um triângulo com ângulos A=40° e B=50° e temos lado a=12. Qual é o comprimento do lado b?
Solução
Temos as seguintes informações:
- A=40°
- B=50°
- a=12
Neste caso, podemos usar a lei dos senos. Então temos:
$latex \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}$
$latex \frac{12}{\sin(40)}=\frac{b}{\sin(50)}$
$latex \frac{12}{0,643}=\frac{b}{0,766}$
$latex 15,55=\frac{b}{0,766}$
$latex b=15,55(0,766)$
$latex b=11,9$
O comprimento de b é 11,9.
EXERCÍCIO 2
Qual é a medida do ângulo A em um triângulo se temos a = 10, B = 30° e b = 8?
Solução
Temos os seguintes dados:
- a=10
- B=30°
- b=8
Usamos a lei dos senos novamente. Então temos:
$latex \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}$
$latex \frac{10}{\sin(A)}=\frac{8}{\sin(30)}$
$latex \frac{10}{\sin(A)}=\frac{8}{0,5}$
$latex \frac{10}{\sin(A)}=16$
$latex \sin(A)=\frac{10}{16}$
Agora, encontramos a medida do ângulo usando a função seno inversa:
$latex A={{\sin}^{-1}}(\frac{10}{16})$
$latex A=38,7$°
O ângulo A mede 38,7°.
EXERCÍCIO 3
Em um triângulo, temos os comprimentos b = 12 e c = 10 e ângulo A = 45°, qual é o comprimento do lado a?
Solução
Extraímos os seguintes dados:
- b=12
- c=10
- A=45°
Nesse caso, podemos usar a lei dos cossenos para encontrar o comprimento de a:
$latex {{a}^2}={{b}^2}+{{c}^2}-2bc~\cos(A)$
$latex {{a}^2}={{12}^2}+{{10}^2}-2(12)(10)~\cos(45)$
$latex {{a}^2}=144+100-169,7$
$latex {{c}^2}=74,3$
$latex c=8,62$
O comprimento de a é 8,62.
EXERCÍCIO 4
Em um triângulo, temos os lados a = 7, b = 8 e c = 9. Qual é a medida do ângulo C?
Solução
Temos as seguintes informações:
- a=7
- b=8
- c=9
Novamente, usamos a lei dos cossenos. Então, resolvendo para o ângulo C, temos:
$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}-2ab~\cos(C)$
$latex {{9}^2}={{7}^2}+{{8}^2}-2(7)(8)~\cos(C)$
$latex 81=49+64-2(7)(8)~\cos(C)$
$latex 81=113-112~\cos(C)$
$latex 112~\cos(C)=32$
$latex C={{\cos}^{-1}}(\frac{32}{112})$
$latex C=73,4$°
O ângulo C mede 73,4°.
Exercícios da lei dos senos e cossenos para resolver
Use a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos para resolver os seguintes exercícios práticos. Selecione uma resposta e clique em “Verificar” para verificar se você acertou.
Veja também
Quer saber mais sobre a lei dos senos e cossenos? Veja estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
