A lei dos cossenos é uma equação que relaciona os comprimentos de dois lados de um triângulo e seu ângulo intermediário. Podemos aplicar a lei dos cossenos quando queremos encontrar o comprimento do terceiro lado de um triângulo e conhecemos os outros dois lados e seu ângulo intermediário. Além disso, também podemos aplicar a lei dos cossenos quando queremos encontrar um ângulo e temos os comprimentos dos três lados do triângulo.
Em seguida, revisaremos a lei dos cossenos. Depois, usaremos sua fórmula para resolver alguns exemplos práticos.
Resumo da lei dos cossenos
A lei dos cossenos tem variações diferentes dependendo dos lados e ângulos que consideramos. A seguir estão as fórmulas para a lei dos cossenos de um triângulo ABC:
| $latex {{a}^2}={{b}^2}+{{c}^2}-2bc\cos(\alpha)$ $latex {{b}^2}={{a}^2}+{{c}^2}-2ac\cos(\beta)$ $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}-2ab\cos(\gamma)$ |
onde, a, b, c representam os comprimentos dos lados do triângulo e α, β, γ representam os ângulos do triângulo ABC mostrado no diagrama abaixo.
A lei dos cossenos pode ser aplicada quando temos as seguintes situações:
- Temos os comprimentos de dois lados de um triângulo e o ângulo entre esses lados e queremos encontrar o comprimento do terceiro lado.
- Temos os comprimentos dos três lados do triângulo e queremos encontrar a medida de qualquer ângulo.
Por exemplo, no triângulo acima, podemos aplicar a lei dos cossenos se tivermos os comprimentos dos lados a e b e o ângulo γ e quisermos encontrar o comprimento de c.
Além disso, podemos aplicar a lei dos cossenos se tivermos os comprimentos de a, b, c e quisermos encontrar a medida de qualquer ângulo.
Exemplos resolvidos da lei dos cossenos
As fórmulas da lei dos cossenos são usadas para resolver os seguintes exemplos de aplicação. Cada exemplo tem sua respectiva resposta, mas tente resolver os exercícios antes de ver a resposta.
EXERCÍCIO 1
Em um triângulo temos os comprimentos a=8 e b=9 e o ângulo C=50°. Qual é o comprimento de c?
Solução
Temos os seguintes valores:
- a=8
- b=9
- C=50°
Encontramos o comprimento do lado c usando a lei dos cossenos:
$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}-2ab~\cos(C)$
$latex {{c}^2}={{8}^2}+{{9}^2}-2(8)(9)~\cos(50)$
$latex {{c}^2}=64+81-92,56$
$latex {{c}^2}=52,44$
$latex c=7,24$
O comprimento de c é 7,24.
EXERCÍCIO 2
Em um triângulo, temos os comprimentos b=12 e c=10 e o ângulo A=35°. Qual é o comprimento do lado a?
Solução
Temos as seguintes informações:
- b=12
- c=10
- A=35°
Usando lei dois cossenos com esses valores, temos:
$latex {{a}^2}={{b}^2}+{{c}^2}-2bc~\cos(A)$
$latex {{a}^2}={{12}^2}+{{10}^2}-2(12)(10)~\cos(35)$
$latex {{a}^2}=144+100-196,6$
$latex {{a}^2}=47,4$
$latex a=6,88$
O comprimento de a é 6,88.
EXERCÍCIO 3
Qual é a medida do ângulo A em um triângulo que tem lados de comprimento a = 7, b = 8 e c = 6?
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- a=7
- b=8
- c=6
Este é um exemplo onde temos que usar a lei dos cossenos para encontrar um ângulo. Então temos:
$latex {{a}^2}={{b}^2}+{{c}^2}-2bc~\cos(A)$
$latex {{7}^2}={{8}^2}+{{6}^2}-2(8)(6)~\cos(A)$
$latex 49=64+36-2(8)(6)~\cos(A)$
$latex 49=100-96~\cos(A)$
$latex 96~\cos(A)=51$
$latex A={{\cos}^{-1}}(\frac{51}{96})$
$latex A=57,9$°
O ângulo A mede 57,9°.
EXERCÍCIO 4
Se temos lados a = 9, b = 11 e c = 10 em um triângulo, qual é a medida do ângulo C?
Solução
Temos os seguintes dados:
- a=9
- b=11
- c=10
Usamos esses valores na lei dos cossenos e resolvemos para o ângulo C:
$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}-2ab~\cos(C)$
$latex {{10}^2}={{9}^2}+{{11}^2}-2(9)(11)~\cos(C)$
$latex 100=81+121-2(9)(11)~\cos(C)$
$latex 100=202-198~\cos(C)$
$latex 198~\cos(C)=102$
$latex C={{\cos}^{-1}}(\frac{102}{198})$
$latex C=59$°
O ângulo C mede 59°.
Exemplos de lei dos cossenos para resolver
Aplique as diferentes fórmulas da lei dos cossenos para resolver os seguintes exemplos. Selecione uma resposta e verifique-a para ter certeza de que acertou.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
