A distância entre dois pontos pode ser calculada usando a fórmula da distância. Por sua vez, a fórmula da distância é derivada usando o teorema de Pitágoras no plano cartesiano, onde a distância representa a hipotenusa de um triângulo retângulo e as distâncias em x e y representam os catetos do triângulo.
A seguir, aprenderemos como derivar a fórmula para a distância entre dois pontos. Além disso, usaremos esta fórmula para resolver alguns exercícios práticos.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender a determinar a distância entre dois pontos com exemplos.
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Aprender a determinar a distância entre dois pontos com exemplos.
Fórmula da distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos com coordenadas $latex (x_{1},~y_{1})$ e $latex (x_{2},~y_{2})$ pode ser calculada usando a fórmula de distância.
| Fórmula de distância $latex d=\sqrt{{{(x_{2}-x_{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}}$ |
Esta é a fórmula que pode ser aplicada no plano cartesiano, ou seja, no espaço bidimensional. Além disso, se queremos calcular a distância entre dois pontos localizados no plano tridimensional, temos que usar a fórmula da distância 3D:
| Fórmula de distância 3D $$d=\sqrt{{{(x_{2}-x_{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}+{{(z_{2}-z_{1})}^2}}$$ |
Como derivar a fórmula para a distância entre dois pontos?
Para derivar a fórmula da distância entre dois pontos, temos que usar o teorema de Pitágoras no plano cartesiano. Então, vamos usar o seguinte diagrama:
No diagrama, temos os pontos $latex A=(x_{1},y_{1})$ e $latex B=(x_{2},y_{2})$. Unimos esses pontos com o segmento AB, que podemos denotar com d. Em seguida, construímos um triângulo retângulo onde o segmento AB é a hipotenusa e os segmentos AC e BC são os catetos do triângulo.
Quando aplicamos o teorema de Pitágoras ao triângulo ABC, temos:
$latex {{AB}^2}={{AC}^2}+{{BC}^2}$
Podemos ver que a distância vertical entre os pontos é igual a $latex |y_{2}-y_{1}|$ e a distância horizontal entre os pontos é igual a $latex |x_{2}-x_{1}| $. Além disso, se substituirmos AB por d, temos:
$latex {{d}^2}={{(x_{2}-x_{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}$
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para obter a fórmula da distância:
$latex d=\sqrt{{{(x_{2}-x_{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}}$
Distância entre dois pontos exemplos trabalhados
A fórmula da distância é usada nos exemplos a seguir para encontrar a distância entre dois pontos. Cada exemplo tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você mesmo tente resolver os exemplos para praticar.
EXEMPLO 1
Determine a distância entre os pontos (1, 3) e (5, 6).
Solução
Escrevemos as coordenadas dos pontos da seguinte forma:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(1, 3)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(5, 6)$
Usando a fórmula da distância com esses valores, temos:
$latex d=\sqrt{{{(x_{2}-x_{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}}$
$latex =\sqrt{{{(5-1)}^2}+{{(6-3)}^2}}$
$latex =\sqrt{{{(4)}^2}+{{(3)}^2}}$
$latex =\sqrt{16+9}$
$latex =\sqrt{25}$
$latex =5$
A distância entre os pontos é igual a 5.
EXEMPLO 2
Qual é a distância entre os pontos (2, 6) e (7, 10)?
Solução
Podemos escrever as coordenadas dos pontos da seguinte forma:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(2, 6)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(7, 10)$
Aplicamos a fórmula da distância com as coordenadas dadas:
$latex d=\sqrt{{{(x_{2}-x_{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}}$
$latex =\sqrt{{{(7-2)}^2}+{{(10-6)}^2}}$
$latex =\sqrt{{{(5)}^2}+{{(4)}^2}}$
$latex =\sqrt{25+16}$
$latex =\sqrt{51}$
$latex =7,14$
A distância é igual a 7,14.
EXEMPLO 3
Se tivermos os pontos (12, 2) e (5, 5), qual é a sua distância?
Solução
Podemos observar as seguintes coordenadas
- $latex (x_{1}, y_{1})=(12, 2)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(5, 5)$
Quando substituímos esses valores na fórmula da distância, temos:
$latex d=\sqrt{{{(x_{2}-x_{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}}$
$latex =\sqrt{{{(5-12)}^2}+{{(5-2)}^2}}$
$latex =\sqrt{{{(-7)}^2}+{{(3)}^2}}$
$latex =\sqrt{49+9}$
$latex =\sqrt{68}$
$latex =7,62$
A distância entre os pontos é igual a 7,62.
EXEMPLO 4
Encontre a distância entre os pontos (-4, 5) e (4, 9).
Solução
Temos as seguintes coordenadas:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(-4, 5)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(4, 9)$
Aqui, temos um ponto com coordenadas negativas. No entanto, a fórmula da distância pode ser usada independentemente dos sinais das coordenadas.
$latex d=\sqrt{{{(x_{2}-x_{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}}$
$latex =\sqrt{{{(4-(-4))}^2}+{{(9-5)}^2}}$
$latex =\sqrt{{{(8)}^2}+{{(4)}^2}}$
$latex =\sqrt{64+16}$
$latex =\sqrt{80}$
$latex =8,94$
A distância é igual a 8,94.
EXEMPLO 5
Determina a distância entre os pontos (-6, -7) e (-2, -1).
Solução
Temos as seguintes coordenadas:
- $latex (x_{1}, y_{1})=(-6, -7)$
- $latex (x_{2}, y_{2})=(-2, -1)$
Semelhante ao exercício anterior, só precisamos usar a fórmula da distância com as coordenadas fornecidas.
$latex d=\sqrt{{{(x_{2}-x_{1})}^2}+{{(y_{2}-y_{1})}^2}}$
$latex =\sqrt{{{(-2-(-6))}^2}+{{(-1-(-7))}^2}}$
$latex =\sqrt{{{(4)}^2}+{{(6)}^2}}$
$latex =\sqrt{16+36}$
$latex =\sqrt{52}$
$latex =7,21$
A distância é igual a 7,21.
Distância entre dois pontos exemplos para resolver
Os exercícios a seguir podem ser resolvidos usando o que você aprendeu sobre a distância entre dois pontos. Você pode ver a fórmula de distância escrita acima ou os exemplos trabalhados se precisar de ajuda.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
