Calculadora de Determinantes
Digite os números da matriz.
Determinante:
Tem inversa?:
Área do paralelogramo:
Orientação das colunas:
Cálculo:
Esta calculadora encontra o determinante de uma matriz 2x2 ou 3x3 e mostra o passo a passo. Em matrizes 3x3 você pode escolher a regra de Sarrus ou o desenvolvimento por cofatores ao longo de qualquer linha ou coluna, e a calculadora confere o resultado com o outro método. Em 2x2 ela desenha o paralelogramo formado pelas colunas, cuja área com sinal é o determinante.
Mais abaixo estão as fórmulas, exemplos resolvidos, uma tabela de casos especiais e as dúvidas mais comuns.
Como usar a calculadora de determinantes?
Passo 1: Escolha o tamanho da matriz: 2x2 ou 3x3. Se for 3x3, escolha também o método.
Passo 2: Digite os números da matriz. Pode usar vírgula ou ponto decimal, por exemplo 2,5 ou 2.5, e números negativos valem. Em 2x2 você também pode arrastar a ponta das setas.
Passo 3: Clique em Calcular ou aperte a tecla Enter. O resultado se atualiza enquanto você digita.
Passo 4: Veja o determinante, se a matriz tem inversa e a área ou o volume. O quadro Cálculo mostra cada operação.
Fórmula do determinante 2x2
Para uma matriz com linhas (a, b) e (c, d), o determinante é o produto da diagonal principal menos o produto da outra diagonal:
| det = a·d - b·c |
Se você desenha as colunas (a, c) e (b, d) como setas a partir da origem, o determinante é a área com sinal do paralelogramo que elas formam: positiva quando a segunda seta está à esquerda da primeira (sentido anti-horário) e negativa quando está à direita. Se o determinante é 0, o paralelogramo vira uma linha.
Determinante 3x3: regra de Sarrus
A regra de Sarrus só funciona em matrizes 3x3. Copiam-se as duas primeiras colunas à direita, somam-se os produtos das três diagonais que descem e subtraem-se os das três que sobem:
| det = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi |
Determinante 3x3: cofatores
O desenvolvimento por cofatores serve para qualquer tamanho. Escolhe-se uma linha ou coluna e soma-se cada elemento vezes o seu sinal vezes o determinante da matriz 2x2 que sobra ao tirar sua linha e sua coluna (o menor). O sinal é (-1)i+j, um tabuleiro de + e -. Vale escolher a linha ou coluna com mais zeros:
| det = a11M11 - a12M12 + a13M13 (pela linha 1) |
Em 3x3 o valor absoluto do determinante é o volume do paralelepípedo formado pelas três colunas.
Exemplos de determinantes
Exemplo 1: Matriz 2x2 [[4, 3], [2, 5]]
det = 4 × 5 - 3 × 2 = 20 - 6 = 14
O determinante é positivo, então as colunas giram no sentido anti-horário e a área do paralelogramo é 14.
Exemplo 2: Determinante negativo
det = 1 × 3 - 4 × 2 = 3 - 8 = -5
O sinal negativo indica sentido horário. A área continua sendo 5, porque área não tem sinal.
Exemplo 3: Matriz 3x3 com a regra de Sarrus
Calcule o determinante de [[2, 1, 3], [0, 4, 1], [5, 2, 1]].
(+) 2 × 4 × 1 + 1 × 1 × 5 + 3 × 0 × 2 = 8 + 5 + 0 = 13
(-) 3 × 4 × 5 + 2 × 1 × 2 + 1 × 0 × 1 = 60 + 4 + 0 = 64
det = 13 - 64 = -51
Com cofatores pela linha 1 sai o mesmo valor: -51.
Exemplo 4: Matriz 3x3 com cofatores
Calcule o determinante de [[3, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 4]] pela linha 1. Como a13 = 0, esse termo some.
a11: 3 × (+1) × (2 × 4 - 1 × 1) = 3 × (+1) × 7 = 21
a12: 1 × (-1) × (1 × 4 - 1 × 0) = 1 × (-1) × 4 = -4
a13: 0 × (+1) × (1 × 1 - 2 × 0) = 0 × (+1) × 1 = 0
det = 21 + (-4) + 0 = 17
Tabela de casos especiais
| Matriz | Determinante | Por quê |
|---|---|---|
| [[1, 0], [0, 1]] | 1 | Matriz identidade |
| [[2, 5], [0, 3]] | 6 | Triangular: produto da diagonal |
| [[1, 2], [2, 4]] | 0 | Linhas proporcionais |
| [[1, 2], [3, 4]] | -2 | Original |
| [[3, 4], [1, 2]] | 2 | Com as linhas trocadas, o sinal inverte |
| [[1, 2], [0, 0]] | 0 | Uma linha de zeros |
Perguntas frequentes
Como se calcula o determinante de uma matriz 2x2?
Multiplica-se a diagonal principal e subtrai-se o produto da outra diagonal. Para [[1, 2], [3, 4]]: 1 × 4 - 2 × 3 = -2.
Qual é a diferença entre Sarrus e cofatores?
Sarrus é um atalho visual que só serve em 3x3. Os cofatores funcionam em qualquer tamanho e são mais práticos quando uma linha ou coluna tem zeros. Os dois dão o mesmo resultado.
O que significa um determinante igual a 0?
A matriz é singular: não tem inversa, e suas linhas ou colunas dependem umas das outras. Por exemplo, [[2, 4], [1, 2]] tem determinante 0 porque a primeira linha é o dobro da segunda. No desenho, o paralelogramo vira uma linha.
Qual é a relação entre o determinante e a área?
Em uma matriz 2x2, o valor absoluto do determinante é a área do paralelogramo formado pelas colunas. Para [[3, 0], [0, 5]] é um retângulo de 3 por 5 e a área é 15.
Qual linha ou coluna devo escolher nos cofatores?
A que tiver mais zeros, porque cada zero elimina um termo. Se não houver zeros, qualquer escolha serve e o resultado é o mesmo.
Para aprender mais
- Determinante de uma matriz 2x2: exercícios resolvidos
- Determinante de uma matriz 3x3: exercícios resolvidos
- Matriz inversa da matriz 2x2: exercícios resolvidos
- Área do paralelogramo: fórmulas e exercícios
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