Matriz inversa da matriz 2×2 – Exercícios resolvidos

Encontrar a inversa de uma matriz 2×2 é um processo simples que começa determinando se a matriz é verdadeiramente invertível. Se a matriz for invertível, trocamos as posições dos elementos na diagonal principal, trocamos os sinais dos elementos fora da diagonal e depois dividimos cada elemento pelo determinante da matriz original.

A seguir, exploraremos isso por meio de alguns exemplos tangíveis com soluções detalhadas. Também incluímos problemas práticos para você tentar encontrar o inverso de uma matriz 2×2.

ÁLGEBRA LINEAR
Fórmula para a matriz inversa de uma matriz 2x2

Relevante para

Aprender a encontrar a matriz inversa de matrizes 2×2.

Ver exercícios

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Fórmula para a matriz inversa de uma matriz 2x2

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Como encontrar a matriz inversa de uma matriz 2×2?

A matriz inversa de uma matriz 2×2 é encontrada dividindo cada elemento da matriz adjunta pelo determinante da matriz original.

Suponha que temos a seguinte matriz 2×2:

$$ A = \begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}$$

Para encontrar sua matriz inversa, seguimos os seguintes passos:

Passo 1: Calcula o determinante da matriz (denotado como det(A) ou |A|):

$latex \det(A) = ad – bc $

Passo 2: Verifique se o determinante é diferente de zero (ou seja, det(A) ≠ 0). Se o determinante for zero, a matriz A é singular e não tem inversa.

Se o determinante for diferente de zero, passamos para o próximo passo.

Passo 3: Criamos a matriz adjunta trocando os elementos $latex a$ e $latex d$, e alterando os sinais dos elementos $latex b$ e $latex c$:

$$ \operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}d & -b \\-c & a\end{pmatrix}$$

Passo 4: Divida cada elemento da matriz adjunta pelo determinante:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \operatorname{adj}(A)$$

$$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{d}{\det(A)} & -\frac{b}{\det(A)} \\-\frac{c}{\det(A)} & \frac{a}{\det(A)}\end{pmatrix}$$

O resultado da matriz inversa da matriz A, denotada como $latex A^{-1}$.


Exercícios resolvidos sobre matriz inversa de matrizes 2×2

EXERCÍCIO 1

Encontre a matriz inversa da matriz 2×2 dada:

$$ A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} $$

Solução

EXERCÍCIO 2

Encontre a matriz inversa da seguinte matriz:

$$A = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

Solução

EXERCÍCIO 3

Qual é a matriz inversa da matriz A?

$$A = \begin{pmatrix}6 & -3 \\4 & -2\end{pmatrix}$$

Solução

EXERCÍCIO 4

Se tivermos a seguinte matriz M, encontre sua matriz inversa:

$$M = \begin{pmatrix}5 & 1 \\2 & 3\end{pmatrix}$$

Solução

EXERCÍCIO 5

Determine a matriz inversa da matriz B:

$$B = \begin{pmatrix}8 & 5 \\-6 & -3\end{pmatrix}$$

Solução

EXERCÍCIO 6

Qual é a inversa da matriz dada?

$$A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\4 & 2\end{pmatrix}$$

Solução

EXERCÍCIO 7

Encontre a matriz inversa da matriz C:

$$C = \begin{pmatrix}3 & -7 \\-1 & 2\end{pmatrix}$$

Solução

EXERCÍCIO 8

Se tivermos a seguinte matriz, qual é sua matriz inversa?

$$A = \begin{pmatrix}-1 & 4 \\5 & -2\end{pmatrix}$$

Solução

EXERCÍCIO 9

Encontre a matriz inversa da seguinte matriz:

$$ A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ \frac{7}{4} & -\frac{3}{2} \end{pmatrix} $$

Solução

EXERCÍCIO 10

Dada a seguinte matriz, encontre sua matriz inversa:

$$M = \begin{pmatrix}\sqrt{2} & -\sqrt{3} \\2\sqrt{3} & -\sqrt{6}\end{pmatrix}$$

Solução

Exercícios de matriz inversa de matrizes 2×2 para resolver

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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