Determinante de uma Matriz 3×3 – Exercícios Resolvidos

Determinantes são um conceito fundamental da álgebra linear. Para calcular o determinante de uma matriz 3×3, multiplicamos cada elemento da linha superior pelo determinante da matriz 2×2 formada pela eliminação de sua linha e coluna, depois alternamos os sinais e somamos os resultados.

A seguir, aprenderemos como encontrar o determinante de uma matriz 3×3 passo a passo. Veremos vários exercícios práticos para aplicar o que aprendemos.

ÁLGEBRA LINEAR
Fórmula para determinar a matriz 3x3 usando a primeira linha

Relevante para

Aprender sobre o determinante de matrizes 3×3 com exercícios.

Ver exercícios

ÁLGEBRA LINEAR
Fórmula para determinar a matriz 3x3 usando a primeira linha

Relevante para

Aprender sobre o determinante de matrizes 3×3 com exercícios.

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Como encontrar o determinante de uma matriz 3×3?

O método geral para encontrar o determinante de uma matriz 3×3 é usar o método de expansão de cofatores, também conhecido como expansão de Laplace.

A seguir estão os passos que podemos seguir para aplicar este método:

Passo 1: Escolha uma linha ou coluna (geralmente a primeira linha é escolhida por simplicidade) da matriz 3×3.

Passo 2: Para cada elemento da linha ou coluna escolhida, encontre o menor correspondente. O menor é o determinante da matriz 2×2 que permanece após eliminar a linha e a coluna que contém o elemento atual.

Por exemplo, se pegarmos a primeira linha, teríamos

Passos para encontrar o determinante da matriz 3x3

Passo 3: Multiplique cada elemento da linha ou coluna escolhida pelo menor correspondente.

Passo 4: Sinais alternativos dos produtos resultantes usando o diagrama a seguir.

sinais a serem usados ​​para encontrar o determinante da matriz 3x3

Por exemplo, se pegarmos a primeira linha, os sinais serão +, -, +. Se pegarmos a segunda linha, os sinais serão -, +, -.

Passo 5: Some os produtos para obter o determinante da matriz 3×3.

Agora, vamos aplicar estes passos na matriz geral A:

$$A=\begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{bmatrix}$$

Usaremos a primeira linha da matriz. Em seguida, multiplicamos cada elemento pelo menor e usamos os sinais +, -, +.

$$\det(A) = a_{1} \cdot \det(\text{Menor}_{a_{1}}) – a_{2} \cdot \det(\text{Menor}_{a_{2}}) + a_{3} \cdot \det(\text{Menor}_{a_{3}})$$

onde, o menor é o determinante da matriz 2×2 que permanece ao eliminar as linhas e colunas dos elementos $latex a_{1}$, $latex a_{2}$ e $latex a_{3}$:

$$\det(\text{Menor}_{a_{1}}) = b_{2}c_{3} – b_{3}c_{2}$$

$$ \det(\text{Menor}_{a_{2}}) = b_{1}c_{3} – b_{3}c_{1}$$

$$\det(\text{Menor}_{a_{3}}) = b_{1}c_{2} – b_{2}c_{1}$$

Se usássemos a segunda linha, teríamos os sinais -, +, -:

$$\det(A) = – b_{1} \cdot \det(\text{Menor}_{b_{1}}) + b_{2} \cdot \det(\text{Menor}_{b_{2}}) – b_{3} \cdot \det(\text{Menor}_{b_{3}})$$


Exercícios resolvidos sobre determinante de matrizes 3×3

EXERCÍCIO 1

Encontre o determinante da seguinte matriz 3×3:

$$ B = \begin{bmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 1 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \ \end{bmatrix} $$

Solução

EXERCÍCIO 2

Encontre o determinante da seguinte matriz:

$$B =\begin{bmatrix}1 & 4 & 7 \\2 & 5 & 8 \\3 & 6 & 9\end{bmatrix}$$

Solução

EXERCÍCIO 3

Encontre o determinante da seguinte matriz:

$$ C = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

Solução

EXERCÍCIO 4

Qual é o determinante da matriz D?

$$ D = \begin{bmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 4 & -5 & 6 \\ -7 & 8 & -9 \end{bmatrix} $$

Solução

EXERCÍCIO 5

Encontre o determinante da seguinte matriz:

$$ E = \begin{bmatrix} 2 & -4 & 6 \\ -1 & 3 & -7 \\ 4 & 5 & -6 \end{bmatrix} $$

Solução

EXERCÍCIO 6

Qual é o determinante da matriz F?

$$ F = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -1 & 4 & -5 \\ 2 & 6 & -3 \end{bmatrix} $$

Solução

EXERCÍCIO 7

Encontre o determinante da seguinte matriz:

$$ G = \begin{bmatrix} -4 & 7 & -1 \\ 5 & -2 & 6 \\ -3 & 1 & 8 \end{bmatrix} $$

Solução

EXERCÍCIO 8

Qual é o determinante da matriz H?

$$ H = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -4 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} $$

Solução

EXERCÍCIO 9

Encontre o determinante da matriz I:

$$ I = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{bmatrix} $$

Solução

EXERCÍCIO 10

Encontre o determinante da matriz J:

$$ J = \begin{bmatrix} -1 & 3 & 5 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix} $$

Solução

Exercícios determinantes de matrizes 3×3 para resolver

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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