Juros são o preço de usar dinheiro. O banco paga para você quando você poupa, e você paga quando toma emprestado. A forma de calcular decide se R$ 1.000 viram R$ 1.500 ou R$ 1.628,89 depois de dez anos, com a mesma taxa de 5%.
Existem dois métodos. Os juros simples são sempre calculados sobre o capital inicial. Os juros compostos também rendem juros sobre os juros que já foram somados. Aqui estão as duas fórmulas, um gráfico que você pode mexer para ver a diferença aparecer, o motivo de capitalizar com mais frequência ajudar pouco e a regra dos 72, um atalho para estimar quanto tempo o dinheiro leva para dobrar. É uma explicação matemática, não consultoria financeira.
Termos básicos
- Capital (C): o valor inicial.
- Taxa (i): a taxa anual escrita como decimal. 5% é $latex 0{,}05$.
- Tempo (t): o número de anos.
- Montante (M): o total no final, capital mais juros.
- Juros (J): $latex J = M - C$.
As unidades precisam combinar. Se a taxa é anual, o tempo fica em anos: seis meses são $latex t = 0{,}5$.
Fórmula dos juros simples
Os juros simples são calculados só sobre o capital, então todo ano rende o mesmo valor.
$latex J = C\,i\,t \qquad M = C(1 + it)$
Com taxa de 5%, R$ 1.000 rendem R$ 50 por ano. Em 10 anos são R$ 500 de juros e o montante é R$ 1.500. O saldo sobe em linha reta porque o mesmo valor é somado a cada ano. É uma progressão aritmética.
Fórmula dos juros compostos
Nos juros compostos, os juros são somados ao saldo no fim de cada período, e os juros do período seguinte são calculados sobre o saldo maior.
$latex M = C\left(1 + \frac{i}{n}\right)^{nt}$
- $latex n$ é o número de períodos de capitalização por ano: 1 se é anual, 2 semestral, 4 trimestral, 12 mensal, 365 diária.
- $latex i/n$ é a taxa de um período.
- $latex nt$ é o número total de períodos.
Com capitalização anual $latex n = 1$ e a fórmula fica $latex M = C(1+i)^t$. O saldo é multiplicado todo ano pelo mesmo fator $latex 1+i$, formando uma progressão geométrica. A tabela compara os dois métodos com R$ 1.000 a 5% ao ano:
| Ano | Juros simples | Juros compostos (anual) |
|---|---|---|
| 1 | R$ 1.050,00 | R$ 1.050,00 |
| 2 | R$ 1.100,00 | R$ 1.102,50 |
| 3 | R$ 1.150,00 | R$ 1.157,63 |
| 5 | R$ 1.250,00 | R$ 1.276,28 |
| 10 | R$ 1.500,00 | R$ 1.628,89 |
| 20 | R$ 2.000,00 | R$ 2.653,30 |
| 30 | R$ 2.500,00 | R$ 4.321,94 |
O primeiro ano é idêntico. Depois, o saldo composto passa na frente, porque os juros de cada ano são calculados sobre um valor maior.
A corrida entre os dois métodos
Mexa nos controles. Com uma taxa bem baixa as linhas quase se sobrepõem. Aumente a taxa e os anos e a área sombreada cresce: essa diferença são juros ganhos sobre juros. As barras abaixo do gráfico mostram o que muda quando a mesma taxa é capitalizada com mais frequência.
Corrida: juros simples contra juros compostos
Mude os valores e veja a diferença se abrir. Clique em Corrida para repetir a animação.
Juros ganhos conforme a frequência de capitalização
Por que a frequência de capitalização importa (e por que deixa de importar)
Capitalizar com mais frequência soma os juros ao saldo mais cedo, e esses juros começam a render mais cedo. O efeito existe, mas é pequeno. Veja R$ 1.000 a 6% ao ano durante 10 anos:
| Capitalização | Montante depois de 10 anos |
|---|---|
| Anual (n = 1) | R$ 1.790,85 |
| Semestral (n = 2) | R$ 1.806,11 |
| Trimestral (n = 4) | R$ 1.814,02 |
| Mensal (n = 12) | R$ 1.819,40 |
| Diária (n = 365) | R$ 1.822,03 |
| Contínua | R$ 1.822,12 |
Passar de anual para mensal acrescenta R$ 28,55. Passar de mensal para diária acrescenta apenas R$ 2,63. Os valores se apertam em direção a um limite, porque $latex \left(1+\frac{i}{n}\right)^{n}$ se aproxima de $latex e^{i}$ quando $latex n$ cresce. Esse limite se chama capitalização contínua:
$latex M = Ce^{it}$
Para comparar contas que capitalizam de modo diferente, converta cada uma para sua taxa efetiva anual, $latex \left(1+\frac{i}{n}\right)^{n}-1$. Uma taxa de 6% capitalizada mensalmente tem taxa efetiva anual de 6,17%, um pouco acima dos 6% que aparecem no rótulo. Use a Calculadora de juros compostos para testar seus próprios números.
A regra dos 72
Para estimar quanto tempo o dinheiro leva para dobrar, divida 72 pela taxa anual escrita em porcentagem:
$latex \text{anos para dobrar} \approx \frac{72}{\text{taxa em porcentagem}}$
Com 8% a estimativa é $latex 72 \div 8 = 9$ anos. A resposta exata sai de resolver $latex C(1+i)^t = 2C$:
$latex t = \frac{\ln 2}{\ln(1+i)}$
Com 8% são 9,006 anos, então o atalho erra por alguns dias. A Calculadora de logaritmos calcula os logaritmos, e o artigo sobre aplicações de logaritmos mostra de onde vem essa fórmula.
Por que 72? Para taxas pequenas, $latex \ln(1+i)$ fica perto de $latex i$ e $latex \ln 2 \approx 0{,}693$, o que dá 69,3 dividido pela taxa. O 72 é usado porque encaixa melhor nas taxas comuns de 6% a 10% e divide certinho por 2, 3, 4, 6, 8, 9 e 12. Veja a comparação, com uma curva que você pode percorrer:
| Taxa | Anos exatos para dobrar | 72 ÷ taxa |
|---|---|---|
| 2% | 35,00 | 36,00 |
| 4% | 17,67 | 18,00 |
| 6% | 11,90 | 12,00 |
| 8% | 9,01 | 9,00 |
| 9% | 8,04 | 8,00 |
| 12% | 6,12 | 6,00 |
| 18% | 4,19 | 4,00 |
| 24% | 3,22 | 3,00 |
A regra dos 72 contra o tempo exato de duplicação
Mova a taxa. A curva contínua é exata; a tracejada é 72 dividido pela taxa.
O atalho funciona melhor entre 6% e 10%. Com taxas muito altas ele subestima o tempo (24% dá 3,00 anos pela regra e 3,22 exatos). Use sempre a taxa como número de porcentagem: 8 e não 0,08.
Exemplos resolvidos
EXEMPLO 1
Calcule os juros e o montante de R$ 2.000 a 5% de juros simples durante 3 anos.
Use $latex J = Cit$: $latex J = 2000 \times 0{,}05 \times 3 = 300$.
O montante é $latex M = 2000 + 300 = 2.300$. Os juros são R$ 300 e o montante é R$ 2.300.
EXEMPLO 2
O mesmo dinheiro, mas com capitalização anual: R$ 2.000 a 5% durante 3 anos.
$latex M = 2000(1+0{,}05)^3 = 2000 \times 1{,}157625 = 2.315{,}25$.
Os juros são R$ 315,25, ou seja, R$ 15,25 a mais que nos juros simples sobre o mesmo dinheiro. A diferença é pequena aos 3 anos e cresce rápido depois.
EXEMPLO 3
Calcule o montante de R$ 5.000 a 6% ao ano capitalizado mensalmente durante 2 anos.
Aqui $latex n = 12$, então a taxa mensal é $latex 0{,}06/12 = 0{,}005$ e o número de períodos é $latex nt = 24$.
$latex M = 5000(1+0{,}005)^{24} = 5.635{,}8$. O montante é R$ 5.635,80.
EXEMPLO 4
Quanto tempo o dinheiro leva para dobrar a 8% com capitalização anual?
Resolva $latex 1{,}08^t = 2$. Com logaritmos, $latex t = \ln 2 / \ln 1{,}08 = 9{,}006$.
Leva cerca de 9 anos. A regra dos 72 dá $latex 72/8 = 9$, bem perto.
Erros comuns
- Escrever a taxa como número inteiro. Nas fórmulas use 0,05, não 5. A regra dos 72 é o único lugar em que se usa 5.
- Misturar unidades de tempo. Taxa mensal pede t em meses. Taxa anual pede t em anos.
- Confundir n com t. O expoente é $latex nt$, o número de períodos, e não só t.
- Esquecer de subtrair o capital. As fórmulas de $latex M$ dão o total. Os juros são $latex M - C$.
- Arredondar cedo demais. Mantenha todas as casas de $latex (1+i/n)$ até o último passo.
- Esperar que capitalizar todo dia seja um grande ganho. Depois da capitalização mensal, os ganhos são mínimos.
Exercícios resolvidos
EXERCÍCIO 1
Calcule os juros e o montante de R$ 1.500 a 4% de juros simples durante 5 anos.
Solução
$latex J = 1500 \times 0{,}04 \times 5 = 300$, então os juros são R$ 300 e o montante é $latex 1500 + 300 = 1800$, ou seja, R$ 1.800.
EXERCÍCIO 2
Quantos anos R$ 800 precisam a 3% de juros simples para render R$ 120 de juros?
Solução
De $latex J = Cit$ sai $latex t = \frac{J}{Ci} = \frac{120}{800 \times 0{,}03} = 5$. Precisam de 5 anos.
EXERCÍCIO 3
Calcule o montante de R$ 3.000 a 7% com capitalização anual durante 4 anos.
Solução
$latex M = 3000(1{,}07)^4 = 3000 \times 1{,}31079601 = 3.932{,}39$. O montante é R$ 3.932,39.
EXERCÍCIO 4
Calcule o montante de R$ 2.500 a 8% ao ano capitalizado trimestralmente durante 3 anos.
Solução
$latex n = 4$, $latex nt = 12$ e a taxa trimestral é $latex 0{,}08/4 = 0{,}02$. Então $latex M = 2500(1{,}02)^{12} = 3.170{,}6$. O montante é R$ 3.170,60.
EXERCÍCIO 5
(a) Use a regra dos 72 para estimar o tempo para dobrar a 6%. (b) Que taxa anual dobra o dinheiro em 9 anos? Compare com os valores exatos.
Solução
(a) $latex 72/6 = 12$ anos. Exato: $latex \ln 2/\ln 1{,}06 = 11{,}9$ anos.
(b) A regra dá $latex 72/9 = 8$%. Exato: $latex 1+i = 2^{1/9}$, de onde $latex i = 0{,}0801$, cerca de 8,01%.
EXERCÍCIO 6
Compare R$ 10.000 a 6% durante 30 anos com juros simples e com capitalização anual.
Solução
Simples: $latex M = 10000(1 + 0{,}06 \times 30) = 28.000$. Composto: $latex M = 10000(1{,}06)^{30} = 57.434{,}91$.
O resultado composto é R$ 57.434,91, mais que o dobro dos R$ 28.000 dos juros simples.
Perguntas frequentes
Qual é melhor, juros simples ou compostos?
Quando você recebe juros, os compostos são melhores, porque depois do primeiro período sempre rendem mais. Quando você paga juros de um empréstimo, essa mesma propriedade joga contra você. Confira qual método o contrato usa.
Capitalizar todo dia é muito melhor que capitalizar todo mês?
Não. Na tabela acima, passar de mensal para diária acrescenta R$ 2,63 sobre R$ 1.000 em dez anos. O salto que conta é o primeiro, de anual para várias vezes por ano.
A regra dos 72 é exata?
Não, é uma estimativa que funciona melhor com taxas de 6% a 10%. Para a resposta exata use $latex t = \ln 2/\ln(1+i)$.
E se eu depositar um valor todo mês?
Isso segue outra fórmula, que soma uma série geométrica. Esta página trata de um único depósito que fica parado.
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