Existem aplicações importantes da função exponencial na vida códica. As aplicações mais importantes estão relacionadas ao crescimento populacional, declínio exponencial e juros compostos.
Essas situações podem ser facilmente modeladas com funções exponenciais. É possível prever cenários futuros com o conhecimento de certos parâmetros atuais.
1. Crescimento populacional
Em alguns casos, os cientistas começam com um certo número de bactérias ou animais e observam a mudança de sua população. Por exemplo, se a população está dobrando a cada 7 dias, isso pode ser modelado por uma função exponencial.
A fórmula geral usada para representar o crescimento da população é $latex P(r, t, f) = P_{i}{{(1 + r)}^{\frac{t}{f}}}$, onde $latex P_{i}$ representa a população inicial, r é a taxa de crescimento da população, t é o tempo decorrido e f é o período durante o qual a população cresce a uma taxa de r.
A razão de t para f é muitas vezes simplificada em um único valor que representa o número de ciclos compostos. Embora esta seja a fórmula geral, muitos dos modelos de população usam o número e e formam a fórmula $latex P=P_{i}{{e}^{kt}}$.
Os modelos populacionais podem ocorrer de duas maneiras. Uma maneira é se tivermos uma função exponencial e tivermos que encontrar estimativas. A segunda maneira envolve encontrar uma equação exponencial a partir das informações fornecidas. Veremos exemplos de ambas as maneiras.
EXEMPLO 1
A população de uma cidade é $latex P=350 000{{e}^{0.012t}}$, onde $latex t=0$ representa a população no ano de 2020.
a) Encontre a população da cidade no ano de 2030.
Solução: Para encontrar a população no ano de 2030, precisamos usar $latex t=10$ na equação dada:
$$P=350 000{{e}^{0.012t}}=350 000{{e}^{0.12}}=394 624$$
b) Encontre a população da cidade no ano de 2035.
Solução: Para encontrar a população no ano de 2035, precisamos usar $latex t=15$:
$$P=350 000{{e}^{0.012t}}=350 000{{e}^{0.18}}=419 026$$
c) Descubra quando a população será igual a 450 000.
Solução: Pela pergunta anterior, sabemos que a população em 2035 será de 419 026, então faz sentido que a resposta seja maior que 2035. Lembre-se de que o P na equação é a população final, que temos é de 450 000. A equação que temos tem que resolver para encontrar o tempo é:
$latex 450 000=350 000{{e}^{0.012t}}$
Então, resolvemos o seguinte:
$latex 450 000=350 000{{e}^{0.012t}}$
$$\frac{450 000}{350 000}={{e}^{0.012t}}$$
$$\ln\left( \frac{450 000}{350 000}\right)=\ln {{e}^{0.012t}}$$
$$\ln\left( \frac{450 000}{350 000}\right)= 0.012t$$
$$\frac{\ln\left( \frac{450 000}{350 000}\right)}{0.012}= t$$
$latex 20.94=t$
Portanto, serão necessários quase 21 para a população chegar a 450 000, o que significa que a população chegará a 450 000 por volta de 2041.
EXEMPLO 2
Um cientista começa com 100 bactérias. Após 10 dias, você descobre que a população cresceu para 500.
a) Determine uma equação para esta população de bactérias.
Solução: Para encontrar uma equação, precisamos encontrar os valores de $latex P_{i}$ e $latex k$. $latex P_{i}$ é o número de bactérias com as quais o cientista começa, ou seja, 100. Sabemos que depois $latex t=10$ dias, a população é de 500, então podemos usar isso para encontrar $latex k$:
$latex 500=100{{e}^{10k}}$
$latex 5={{e}^{10k}}$
$latex \ln (5)=\ln {{e}^{10k}}$
$latex \ln (5)=10k$
$latex \frac{\ln (5)}{10}=k$
$latex 0.161=k$
Agora que sabemos k, conectamos esses valores na equação geral para obter:
$latex P=100{{e}^{0.161t}}$
b) Use a equação para calcular a população após 20 dias.
Solução: Temos que substituir o valor de 20 por t na equação obtida na questão anterior:
$$P=100e^{0.161(20)}=100e^{3.22}=2 502.8$$
Isso equivale a aproximadamente 2 503 bactérias após 20 dias.
c) Use a equação para estimar quando a população será igual a 1000.
$latex 1000=100{{e}^{0.161t}}$
$latex \frac{1000}{100}={{e}^{0.161t}}$
$latex \ln (10)=\ln {{e}^{0.161t}}$
$latex \ln (10)= 0.161t$
$latex \frac{\ln (10)}{0.161}= t$
$latex 14.3=t$
Portanto, entre 14 e 15 dias, a população de bactérias será de 1000.
2. Declínio exponencial
Semelhante a como é possível que uma variável cresça exponencialmente em função de outra, também é possível que a variável diminua exponencialmente. Considere o declínio de uma população que ocorre a uma taxa proporcional ao seu valor. Essa taxa na qual a população está diminuindo permanece constante, mas à medida que a população continua diminuindo, o declínio geral torna-se cada vez menos acentuado.
O decaimento exponencial pode ser modelado com a fórmula $latex N(t)=N_{0}{{e}^{- \lambda t}}$, onde N é a quantidade final, $latex N_{0}$ é a quantidade inicial, $latex \lambda$ é a constante de decaimento e t é o tempo.
EXEMPLO
O número de miligramas de um medicamento no corpo de uma pessoa após t horas é dado pela função exponencial $latex F=20{{e}^{-0.4t}}$.
a) Encontre a quantidade do medicamento após 2 horas.
Solução: Para resolver o problema, usamos $latex t=2$ na função dada:
$latex F=20{{e}^{-0.4(2)}}=20{{e}^{-0.8}}=8.987$
Após 2 horas, 8 987 miligramas de medicamento permanecem no corpo.
b) Encontre a quantidade de medicamento após 5 horas.
Solução: Usamos $latex t=5$ na função dada:
$latex F=20{{e}^{-0.4(5)}}=20{{e}^{-2}}=2.707$
Após 5 horas, 2 707 miligramas de medicamento permanecem no corpo.
c) Quando a quantidade de medicamento no corpo será de 1 miligrama?
Solução: Precisamos usar $latex F= 1$ e resolver para o tempo:
$latex 1=20{{e}^{-0.4t}}$
$latex 0.05={{e}^{-0.4t}}$
$latex \ln (0.05)=\ln {{e}^{-0.4t}}$
$latex \ln (0.05)=-0.4t$
$latex \frac{\ln (0.05)}{-0.4}= t$
$latex 7.49=t$
Portanto, após cerca de 7 horas e 30 minutos, a quantidade de medicamento que resta no corpo é de 1 miligrama.
3. Juros compostos
Juros compostos é uma aplicação de funções exponenciais comumente encontradas em nossa vida cotidiana. Os juros são geralmente uma taxa cobrada pelo empréstimo de dinheiro. Existem dois tipos de juros: simples e compostos.
Nos juros simples, os juros são provisionados apenas sobre o principal ou o valor inicial. Isso significa que o valor dos juros ganhos em cada período é o mesmo, pois os juros são ganhos sobre o valor inicial que não foi alterado.
Em juros compostos, os juros são acumulados sobre o valor inicial e os juros ganhos anteriormente. Por esse motivo, se todas as outras condições forem iguais, os juros compostos crescem a uma taxa mais rápida do que os juros simples. A quantidade de juros auferidos cresce a cada período.
A fórmula para juros compostos é $latex A=C{{(1+\frac{r}{n})}^{nt}}$, onde A representa a quantidade de dinheiro após um período de tempo, C representa a quantidade inicial de dinheiro, r representa a taxa de juros escrita em decimal, n é o número de vezes que os juros são compostos em um ano e t é a quantidade de tempo em anos.
EXEMPLO
a) Imagine que você investe 1 000 dólares em uma conta poupança. A taxa média de juros é de 5% e é composta 4 vezes ao ano. Quanto dinheiro haverá na conta poupança após 10 anos?
Solução: Usamos a fórmula $latex A=C\left(1+\frac{r}{n} \right)^{nt}$ e substituímos $latex C=1000$, $latex r=0.05$, $latex n=4$ e $latex t=10$.
$$A=1000\left(1+\frac{0.005}{4} \right)^{4(10)}=1643.6$$
b) Agora imagine que você investe os mesmos 1000 dólares em uma conta que oferece juros de 7% compostos mensalmente. Quanto dinheiro você terá após 10 anos?
Solução: Agora usamos a fórmula com os dados: $latex C=1000$, $latex r=0.07$, $latex n=12$ e $latex t=10$.
$$A=1000\left(1+\frac{0.007}{12} \right)^{12(10)}=2009.7$$
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
