Existem várias aplicações de funções racionais na vida cotidiana. Podemos formar equações e fórmulas racionais para calcular velocidades ou distâncias, calcular a taxa de trabalho de pessoas ou máquinas e podemos resolver problemas de mistura.
As funções racionais têm até aplicações na medicina e na economia para modelar cenários reais.
Aplicações de funções racionais na vida cotidiana
Medicina
As funções racionais têm aplicações na medicina. Antes de uma operação, um paciente pode receber uma injeção de algum medicamento. Quando a concentração de medicamento no sangue estiver no nível desejado, a operação pode continuar. A concentração de medicamento no sangue pode ser modelada por meio de uma função racional.
Por exemplo, a função hipotética $latex C(t)=\frac{3t}{{{t}^2}+3}$ pode ajudar um médico a determinar a concentração de medicamento no sangue após alguns minutos ou horas.
Economia
As funções racionais podem ser usadas para modelar funções de custo médio. As funções de custo médio ajudam uma empresa a determinar o custo de produção de um determinado produto. Por exemplo, suponha que nossa empresa produza lanternas e queremos determinar o custo médio para produzi-las.
Podemos modelar o custo médio para produzir lanternas usando a função $latex C(x)=\frac{(custo~fixo)+cx}{x}$, onde o custo fixo é o custo necessário para manter o negócio, c é o custo de cada lanterna e x é o número de lanternas produzidas.
Compartilhar coisas e ativos
Se existe uma aplicação padrão de funções racionais na vida real, é compartilhar coisas com os outros. O exemplo mais simples da vida real é quando você compartilha um cookie com um amigo e esse cookie será dividido ao meio, o que já é uma aplicação de funções racionais por divisão simples.
O mesmo pode ser dito em assuntos mais complicados, como quando você compartilha seus bens reais e propriedades com um ente querido, ou quando você tem acionistas em uma corporação onde cada acionista possui um ativo financeiro da empresa.
Proporcionalidade
O numerador e o denominador das funções racionais são inversamente proporcionais entre si quando comparados a uma determinada variável. Isso significa que quando uma variável é igualada a uma expressão racional, diz-se que o numerador é diretamente proporcional, enquanto o denominador é inversamente proporcional.
Uma quantidade pode ser considerada diretamente proporcional quando tem um equilíbrio ou uma relação adequada com o tamanho, ou quantidade da variável correspondente, como quando uma quantidade aumenta, a variável correspondente também aumenta. O oposto acontece em uma quantidade inversamente proporcional.
Tempo
O tempo é medido racionalmente. À medida que o presente avança, o futuro se aproxima, mas o passado se torna mais distante. Além disso, quando medimos diferentes unidades de tempo, também usamos funções racionais, especialmente quando convertemos segundos em minutos em horas, etc., pois os segundos são sessenta avos de minutos, sessenta avos de horas.
Física
As funções racionais são usadas na física para modelar fenômenos como movimento e propagação de ondas. Por exemplo, na mecânica, funções racionais são usadas para modelar o movimento de partículas e corpos rígidos.
Na propagação de ondas, funções racionais são usadas para modelar a propagação de ondas eletromagnéticas e acústicas.
Robótica
As funções racionais são usadas na robótica para modelar a cinemática e a dinâmica dos robôs. Eles são usados para representar as relações entre as juntas e atuadores de um robô e o movimento do efetor final do robô.
Eles também são usados para projetar controladores que estabilizam o movimento do robô e atingem o desempenho desejado.
Geometria
As funções racionais são usadas em geometria para estudar curvas e superfícies algébricas. Eles são usados para representar as equações dessas curvas e superfícies e para analisar suas propriedades geométricas.
Resolver problemas com fórmulas racionais
As funções racionais podem ser usadas para representar situações da vida real e encontrar soluções para problemas reais. Equações que representam variações diretas, inversas ou conjuntas são exemplos de funções racionais que podem modelar situações cotidianas.
Para resolver problemas que envolvem fórmulas racionais, é recomendado começar resolvendo a fórmula para a variável especificada. Por exemplo, podemos ter um problema em que temos que calcular o tempo que leva para cobrir uma certa distância viajando a uma determinada velocidade.
Os modelos algébricos para tais situações envolvem equações racionais derivadas da fórmula da distância, $latex d=vt$. A distância percorrida (d) é o produto da velocidade (v) e do tempo decorrido (t). Usando álgebra, podemos escrever a fórmula de três maneiras diferentes:
$latex d=vt$
Encontre o tempo: $latex t=\frac{d}{v}$
Encontre a velocidade: $latex v=\frac{d}{t}$
EXEMPLO 1
A fórmula para encontrar o volume de um cone é $latex V=\frac{1}{3}\pi {{r}^2}h$, onde V é o volume, r é o rádio e h é a altura do cone. Reorganize a fórmula para encontrar a altura (h).
Solução: Começamos com a fórmula para o volume de um cone:
$latex V=\frac{1}{3}\pi {{r}^2}h$
Multiplicamos ambos os lados por 3:
$latex 3V=\pi {{r}^2}h$
Dividimos os dois lados por $latex \pi {{r}^2}$ para isolar h:
$latex \frac{3V}{{\pi {{r}^2}}}=\frac{{\pi {{r}^2}h}}{{\pi {{r}^2}}}$
Simplificamos para encontrar a altura:
$latex \frac{3V}{{\pi {{r}^2}}}=h$
EXEMPLO 2
A fórmula para encontrar a densidade de um objeto é $latex D=\frac{m}{v}$, onde D é a densidade, m é a massa do objeto e v é o volume do objeto. Reorganize a fórmula para encontrar o volume.
Solução: Começamos com a fórmula para densidade:
$latex D=\frac{m}{v}$
Multiplicamos ambos os lados da equação por v:
$latex vD=\frac{vm}{v}$
Agora dividimos os dois lados por D e simplificamos para encontrar o volume:
$latex \frac{vD}{D}=\frac{vm}{vD}$
$latex v=\frac{m}{D}$
Resolver problemas de trabalho
Funções e equações racionais podem ser usadas em uma ampla variedade de problemas relacionados a taxas, tempo e mão de obra. É possível saber como combinar trabalhadores ou máquinas para completar um trabalho usando expressões e funções racionais.
Um problema de trabalho é um exemplo de uma das aplicações de funções racionais. Os problemas de trabalho muitas vezes nos pedem para estimar quanto tempo levará diferentes pessoas trabalhando em taxas diferentes para concluir uma tarefa ou trabalho. Modelos algébricos para essas situações freqüentemente envolvem equações racionais derivadas da fórmula de trabalho, $latex T=rt$.
Esta fórmula é semelhante à fórmula para distância $latex d=vt$. A quantidade de trabalho (T) é igual à taxa de trabalho (r) multiplicada pelo tempo trabalhado (t). A fórmula de trabalho possui três versões:
$latex T=rt$
$latex t=\frac{T}{r}$
$latex r=\frac{T}{t}$
Alguns problemas envolvem várias pessoas ou máquinas trabalhando em taxas diferentes. Nestes casos, podemos somar todas as taxas de trabalho para obter uma taxa de trabalho total.
EXEMPLO
Ricardo leva 2 horas para regar 60 plantas. Manuela leva 3 horas para regar 60 plantas. Se eles trabalharem juntos, quanto tempo levariam para regar 200 plantas?
Solução: Para facilitar a resolução do problema, podemos pensar em quantas plantas cada pessoa pode regar em 1 hora:
Ricardo: $$\frac{60~\text{plantas}}{2~\text{horas}}=\frac{30~\text{plantas}}{1~\text{hora}}$$
Manuela: $$\frac{60~\text{plantas}}{3~\text{horas}}=\frac{20~\text{plantas}}{1~\text{hora}}$$
Combinamos seus ritmos de trabalho para determinar o ritmo de trabalho quando eles trabalham juntos.
Manuela e Ricardo: $$\frac{30~\text{plantas}}{1~\text{hora}}+\frac{20~\text{plantas}}{1~\text{hora}}=\frac{50~\text{plantas}}{1~\text{hora}}$$
Usamos uma das fórmulas do trabalho para escrever uma função racional, por exemplo $latex r=\frac{W}{t}$. Sabemos r, o ritmo combinado de trabalho, e sabemos W, a quantidade de trabalho a ser feito e temos que calcular para o tempo. Então, temos:
$latex \frac{50}{1}=\frac{200}{t}$
Resolvemos a equação multiplicando ambos os lados por t:
$latex \frac{50}{1}t=\frac{200}{t}t$
$latex 50t=200$
$latex t=\frac{200}{50}$
$latex t=4$ horas
Então, se Ricardo e Manuela trabalham juntos, levariam 4 horas para regar 200 plantas.
Resolver os problemas de mistura
As misturas são compostas por proporções de diferentes substâncias, como gases, água, alimentos ou produtos químicos. As misturas são encontradas em muitos produtos ou mesmo naturalmente ao nosso redor.
Por exemplo, reações químicas e fabricação envolvem misturas. Matematicamente, as misturas podem ser mais interessantes quando os componentes da mistura são adicionados em taxas e concentrações diferentes. No exemplo a seguir, veremos a mistura de água e sal.
EXEMPLO
Em um recipiente temos 20 litros de água e misturamos 1 quilo de sal. Adicionamos água a uma taxa de 2 litros por minuto e, ao mesmo tempo, adicionamos sal a uma taxa de 0,2 libras por minuto. Encontre a concentração no recipiente após 10 minutos.
Solução: Podemos usar t para representar o número de minutos desde que começamos a adicionar água e sal. Como a água aumenta a 2 litros por minuto e o sal a 0,2 libras por minuto, essas taxas são constantes. Isso nos diz que a quantidade de água e a quantidade de sal são lineares. Podemos escrever uma equação para cada um
Água: $latex A(t)=20+2t$ em litros
Sal: $latex S(t)=1+0.2t$ em libras
A concentração, C, será a proporção de libras de sal para litros de água:
$latex C(t)=\frac{1+0.2t}{20+2t}$
A concentração após 10 minutos é dada avaliando $latex C(t)$ em $latex t=10$:
$latex C(10)=\frac{1+2}{20+20}$
$latex =\frac{3}{40}$
Isso significa que a concentração é de 3 libras de sal para 40 litros de água.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
