Aplicações de Números Complexos

O que são números complexos?

Os números complexos são números que assumem a forma de um número real mais um número imaginário. Lembre-se de que os números reais são números como 3, -4,5, $latex \frac{3}{5}$, $latex \sqrt{3}$. Números imaginários são aqueles números que, ao serem elevados ao quadrado, são iguais a um número negativo. A unidade imaginária é i, que é igual à raiz quadrada de -1: $latex i=\sqrt{-1}$.

Aplicações de números imaginários

Para a maioria de nossas tarefas da vida cotidiana, os números reais fornecem uma descrição adequada dos dados. Frações como $latex \frac{1}{3}$ ou $latex \frac{5}{3}$ não fazem sentido se estivermos contando pessoas, mas são essenciais se estivermos quantificando partes de um grupo de pessoas. Números negativos como $latex -2$ ou $latex -13$ não fazem sentido quando estamos medindo o comprimento de um objeto, mas são essenciais quando falamos sobre dívidas ou créditos.

Da mesma forma, números imaginários não são úteis para contar objetos na vida cotidiana, mas são essenciais em aplicações concretas em várias áreas da engenharia e da ciência, como processamento de sinais, teoria de controle, eletromagnetismo, análise de vibração, mecânica quântica e outras.

Aplicações de números complexos em engenharia

A seguir, são algumas das aplicações de números complexos em engenharia:

Teoria de Controle: Na teoria de controle, os sistemas são transformados do domínio do tempo para o domínio da frequência usando as transformações de Laplace. Os pólos e zeros do sistema são analisados ​​no plano complexo.

Análise de Sinais: Os números complexos são usados ​​na análise de sinais e outros campos para obter uma descrição conveniente dos sinais que variam periodicamente. Para determinadas funções reais que representam quantidades físicas, geralmente em termos de seno e cosseno, podemos considerar funções complexas correspondentes das quais as partes reais são as quantidades originais.

Para uma onda senoidal de uma determinada frequência, o valor absoluto |z| do número correspondente z é a amplitude e o argumento arg(z) é a fase.

Integrais Impróprios: Para campos aplicados como engenharia, números complexos são freqüentemente usados ​​para calcular integrais impróprios com valores da vida real ao usar funções de números complexos.

Em Engenharia Mecânica e Civil: O conceito de geometria complexa e plano complexo é muito útil na construção de edifícios e carros. Este conceito é usado no projeto 2D de edifícios e carros. Números complexos também podem ser usados ​​em mecânica para representar rotações.

Teorema dos Resíduos: O teorema dos resíduos na análise complexa é uma ferramenta poderosa para avaliar integrais de caminho de funções meromórficas com relação a curvas fechadas e muitas vezes também pode ser usado para calcular integrais reais.

Aplicações de números complexos em ciência da computação

Os números complexos não são particularmente fundamentais na computação, mas aparecem em vários lugares onde seu conhecimento é necessário para construir aplicativos. O primeiro lugar que vemos números complexos na ciência da computação é no exemplo prototípico de uma classe ou tipo. Um número complexo é um exemplo fácil de entender de um objeto no sentido de programação orientada a objetos.

Podemos mostrar os dados, uma parte real e uma parte imaginária, e as operações sobre os dados implementados como métodos. Este é um caso raro de uso de sobrecarga do operador.

O segundo lugar está na computação gráfica. No caso 2D, os pontos podem ser números complexos e as rotações, translações e reflexos desses pontos correspondem a várias operações nos números complexos. Os números complexos generalizam para quatérnions, que são úteis para gráficos 3D.

Existem outros lugares onde os números complexos podem aparecer, geralmente como conhecimento do aplicativo que precisa ser compreendido antes que um programa possa ser escrito. Por exemplo, precisaríamos de números complexos para sistemas computacionais algébricos ou simulações de mecânica quântica.

Aplicações de números complexos em eletrônica

Os números complexos têm aplicações fundamentais na eletrônica. A tensão produzida por uma bateria é caracterizada por um número real denominado potencial, por exemplo, +10 volts ou -10 volts. No entanto, a tensão “CA” em uma casa requer dois parâmetros. Um é um potencial, como 120 volts e o outro é um ângulo chamado de fase.

A tensão tem duas dimensões e uma quantidade bidimensional pode ser representada matematicamente como um vetor ou um número complexo (conhecido na engenharia como fasor). Na representação de vetores, as coordenadas retangulares são referidas simplesmente como X e Y. Na representação de números complexos, os mesmos componentes são chamados de reais e imaginários.

Quando o número complexo é puramente imaginário, como uma parte real de 0 e uma parte imaginária de 120, isso significa que a tensão tem um potencial de 120 volts e uma fase de 90 °, que é uma medição totalmente real.

Em engenharia elétrica, a transformada de Fourier é usada para analisar tensões e correntes variáveis. O tratamento de resistores, capacitores e indutores pode ser unificado pela introdução de resistores imaginários que são dependentes de frequência e combinando-os em um único número complexo denominado impedância.

Esse uso também é estendido ao processamento de sinal digital e processamento de imagem digital, que usa versões digitais da análise de Fourier para transmitir, compactar e restaurar sinais de imagem, automáticos ou de vídeo. Os engenheiros elétricos usam a letra j para a unidade imaginária, pois normalmente é reservada para correntes variáveis.

Aplicações de números complexos em física

A seguir são as áreas da física nas quais os números complexos são usados:

Mecânica dos fluidos: A mecânica dos fluidos e suas subdisciplinas como aerodinâmica, hidrodinâmica e hidráulica têm uma grande variedade de aplicações. Por exemplo, podemos calcular forças e momentos de inércia em um avião, o fluxo de massa de óleo através de oleodutos e previsões de padrões climáticos. Na mecânica dos fluidos, números complexos são usados ​​para descrever o fluxo potencial em duas dimensões.

Eletromagnetismo: Em vez de considerar as partes magnética e elétrica como dois números reais diferentes, podemos representá-lo como um número complexo.

Relatividade: Na relatividade geral e especial, algumas fórmulas para medir o espaço-tempo tornam-se mais simples se considerarmos a variável do tempo como imaginária. Embora isso não seja mais o padrão na relatividade clássica, é usado de uma forma essencial na teoria quântica de campos.

Mecânica quântica: Os números complexos são relevantes na formulação da mecânica quântica, onde os espaços de Hilbert complexos fornecem o espaço para tais formulações que são convenientes e talvez padrão. As fórmulas fundamentais da mecânica quântica – a equação de Schrödinger e a mecânica matricial de Heisenberg – usam números complexos.

Veja também

Você quer aprender mais sobre aplicações de funções? Olha para estas páginas:

• Aplicações de Funções Lineares
• Aplicações de Funções Quadráticas
• Aplicações das Funções Trigonométricas
• Aplicações da Função Exponencial
• Aplicações da Função Racional
• Aplicações de Funções Logarítmicas