As regras dos logaritmos nos permitem reescrever expressões logarítmicas para formar expressões mais convenientes. Existem sete regras principais de logaritmos. Essas sete regras são úteis para expandir logaritmos, condensar logaritmos e resolver equações logarítmicas. As regras se aplicam a logaritmos de qualquer base, mas a mesma base deve ser usada para aplicar cada regra.
A seguir, conheceremos as principais regras dos logaritmos. Além disso, veremos vários exemplos trabalhados para entender como aplicar essas regras para resolver problemas algébricos.
Definições de regras dos logaritmos
Lembre-se de que um logaritmo é a potência à qual um número deve ser elevado para obter outro número. Por exemplo, o logaritmo de base 10 de 100 é 2, já que 10 elevado à potência de 2 é igual a 100:
$latex \log (100) = 2$
já que:
$latex {{10}^2}=100$
A base é o número que está sendo elevado a uma potência. Podemos usar logaritmos com qualquer base. Se quiséssemos, poderíamos usar 2 como base. Por exemplo, o logaritmo com base dois de oito é igual a três, já que dois elevados à potência de três é igual a oito:
$latex \log_{2}(8)=3$
já que:
$latex {{2}^3}=8$
Agora, vamos examinar as regras dos logaritmos.
Regra 1: Regra do produto
Esta regra nos diz que o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos individuais dos fatores:
Regra 2: Regra do quociente
Esta regra nos diz que o logaritmo do quociente de duas quantidades é igual ao logaritmo do numerador menos o logaritmo do denominador:
Regra 3: Regra de potência
Esta regra nos diz que o logaritmo de um número exponencial é igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo da base:
Regra 4: Regra de zero
Se tivermos o logaritmo de 1 onde a base é $latex b>0$, mas b $latex \neq 0$, o resultado é igual a zero:
Regra 5: Regra de identidade
O logaritmo do argumento (entre parênteses), onde o argumento é igual à base é igual a 1. Como o argumento é igual à base, b deve ser maior que zero, mas não pode ser igual a 1:
Regra 6: Regra do logaritmo do expoente
O logaritmo de um número exponencial, onde sua base é a mesma que a base do logaritmo é igual ao expoente:
Regra 7: Regra do expoente de um logaritmo
Elevar o logaritmo de um número à sua base é igual ao número:
Exercícios sobre regras de logaritmos resolvidos
Os exercícios a seguir aplicam as regras dos logaritmos descritos acima. Cada exercício tem sua respectiva solução para olhar o raciocínio utilizado e as regras dos logaritmos aplicadas.
EXERCÍCIO 1
Resolva a seguinte expressão: $latex \log_{2}(8)+\log_{2}(4)$.
Solução
Podemos aplicar a regra do produto para obter:
$latex \log_{2}(8)+\log_{2}(4)=\log_{2}(8\times 4)$
$latex =\log_{2}(32)$
Agora, podemos escrever esta expressão em sua forma exponencial para obter o expoente:
$latex 32={{2}^5}$
Então, 5 é a resposta correta.
EXERCÍCIO 2
Resolva a seguinte expressão: $latex \log_{3}(162)-\log_{3}(2)$.
Solução
Aqui, temos uma subtração logarítmica, para que possamos aplicar a regra do quociente:
$latex \log_{3}(162)-\log_{3}(2)=\log_{3}(\frac{162}{2})$
$latex =\log_{3}(81)$
Escrevendo o argumento na forma exponencial, temos:
$latex 81={{3}^4}$
Portanto, a resposta é 4.
EXERCÍCIO 3
Calcule o valor de $latex \log_{\sqrt{2}}(64)$.
Solução
Podemos usar a regra de potência duas vezes para reescrever a expressão e torná-la mais fácil de resolver o exercício:
$latex \log_{\sqrt{2}}(64)=\log_{\sqrt{2}}{{(2)}^6}$
$latex =6\log_{\sqrt{2}}(2)$
$latex =6\log_{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^2}$
$latex =6\times 2\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{2})$
$latex =6\times 2(1)$
$latex =12$
EXERCÍCIO 4
Calcule o valor de $$\log_{5}(500)-2\log_{5}(2)+\log_{4}(32)+\log_{4}(8)$$
Solução
Esta expressão parece um pouco complicada à primeira vista, mas vemos que só temos logaritmos com duas bases diferentes, 4 e 5. Portanto, podemos usar a regra do produto para combinar logaritmos com base 4 e a regra de quociente para combinar os logaritmos com base 5.
No entanto, primeiro temos que aplicar a regra de potência ao logaritmo com base 5:
$$\log_{5}(500)-2\log_{5}(2)+\log_{4}(32)+\log_{4}(8)$$
$$=\log_{5}(500)-\log_{5}{{(2)}^2}+\log_{4}(32)+\log_{4}(8)$$
$$ =\log_{5}(500)-\log_{5}(4)+\log_{4}(32)+\log_{4}(8)$$
$latex =\log_{5}(\frac{500}{4})+\log_{4}(32\times 8)$
$latex =\log_{5}(125)+\log_{4}(256)$
Agora, podemos reescrever os argumentos como potências e aplicar a regra de potência dos logaritmos:
$latex =\log_{5}({{5}^3})+\log_{4}({{4}^4})$
$latex =3\log_{5}(5)+4\log_{4}(4)$
$latex =3(1)+4(1)$
$latex =7$
EXERCÍCIO 5
Calcule o valor de: $latex 2\log_{3}(5)+\log_{3}(40)-3\log_{3}(10)$.
Solução
Podemos começar usando a regra de potência para reescrever os logaritmos individuais. Em seguida, usamos a regra do produto e a regra do quociente:
$latex 2\log_{3}(5)+\log_{3}(40)-3\log_{3}(10)$
$latex =\log_{3}({{5}^2})+\log_{3}(40)-\log_{3}({{10}^3})$
$latex =\log_{3}(25)+\log_{3}(40)-\log_{3}(1000)$
$latex =\log_{3}(\frac{25\times 40}{1000})$
$latex =\log_{3}(1)$
Finalmente, aplicamos a regra do zero para resolver:
$latex \log_{3}(1)=0$
EXERCÍCIO 6
Expanda a expressão logarítmica: $latex \log_{3}(27{{x}^2}{{y}^5})$.
Solução
emos um produto de fatores entre parênteses, portanto, podemos aplicar a regra do produto para escrever cada fator separadamente. Podemos simplificar logaritmos individuais quando possível.
Neste caso, usamos a regra da identidade para simplificar:
$$\log_{3}(27{{x}^2}{{y}^5})=\log_{3}(27)+\log_{3}({{x}^2})+\log_{3}({{y}^5})$$
$latex =\log_{3}({{3}^3})+\log_{3}({{x}^2})+\log_{3}({{y}^5})$
$latex =3\log_{3}(3)+2\log_{3}(x)+5\log_{3}(y)$
$latex =3(1)+2\log_{3}(x)+5\log_{3}(y)$
$latex =3+2\log_{3}(x)+5\log_{3}(y)$
Exercícios sobre regras de logaritmos para resolver
Use as regras dos logaritmos para resolver os exercícios a seguir. Escolha uma resposta e verifique se você selecionou a correta. Se precisar de ajuda, você pode consultar os exercícios resolvidos acima ou a lista das regras dos logaritmos.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
