Mudança de Base do Logaritmo

A fórmula para mudança de bases de logaritmos pode ser útil quando não temos calculadoras que nos permitem inserir logaritmos de nenhuma base. Usando esta fórmula, podemos reescrever os logaritmos como uma divisão de logaritmos com a mesma base.

A seguir, conheceremos a fórmula para a mudança das bases dos logaritmos. Além disso, aprenderemos a aplicar esta fórmula usando vários exercícios resolvidos.

ALGEBRA
Mudança de base de logaritmos

Relevante para

Aprender a fórmula para mudança de bases de logaritmos.

Ver exercícios

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Mudança de base de logaritmos

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Fórmula de mudança de bases de logaritmos

Você deve ter notado que muitas calculadoras permitem apenas aplicar logaritmos comuns (base 10) e logaritmos naturais (base e). Podemos usar a fórmula de mudança de bases para reescrever logaritmos como o quociente de logaritmos de qualquer outra base; quando usamos uma calculadora, podemos alterá-los para logaritmos comuns ou naturais.

De acordo com a fórmula de mudança de base do logaritmo, podemos reescrever qualquer logaritmo como o quociente de dois logaritmos com uma nova base:

fórmula de mudança de base de logaritmos

Teste de fórmula de mudança de base

Podemos verificar se a fórmula para a mudança de bases é verdadeira começando com o logaritmo $latex x = \log_{b}(p)$. Sabemos que logaritmos e exponenciais são funções inversas, então podemos escrever o logaritmo em sua forma exponencial:

⇒  $latex {{b}^x}=p$

Agora, podemos aplicar um logaritmo com base “c” em ambos os lados da expressão e temos:

$latex \log_{c}({{b}^{x}})=\log_{c}(p)$

Podemos usar a regra de potência para logaritmos, o que nos diz que podemos reescrever da seguinte maneira:

$latex (x)\log_{c}(b)=\log_{c}(p)$

Podemos dividir os dois lados por $latex \log_{c}(b)$ para isolarx:

$latex x=\frac{\log_{c}(p)}{\log_{c}(b)}$

Agora, substituímos o valor original de x, $latex x=\log_{b}(p)$:

$latex \log_{b}(p)=\frac{\log_{c}(p)}{\log_{c}(b)}$

Em termos práticos, esta fórmula nos diz que podemos avaliar um logaritmo com uma base não padrão, convertendo-o em uma fração da forma “(logaritmo com base padrão de argumento) dividido por (logaritmo com a mesma base padrão de não base padrão) “.


Exercícios de mudança de bases de logaritmos resolvidos

Os exercícios a seguir praticam o uso da fórmula para a mudança das bases do logaritmo. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você tente resolver os exercícios antes de olhar a resposta.

EXERCÍCIO 1

Escreva $latex \log_{3}(7)$ como um quociente de logaritmos naturais.

Solução

EXERCÍCIO 2

Avalie $latex \log_{2}(10)$ usando a fórmula de mudança de bases com uma calculadora.

Solução

EXERCÍCIO 3

Converta $latex \log_{2}(7)$ como um logaritmo com base 5.

Solução

EXERCÍCIO 4

Encontre o logaritmo $latex \log_{3} (6)$.

Solução

EXERCÍCIO 5

Simplifique a expressão $latex \frac{\log(625)}{\log(25)}$ para obter um único número real.

Solução

Exercícios de mudança de bases de logaritmos para resolver

Pratique o que aprendeu sobre a fórmula de mudança de bases com os exercícios a seguir. Resolva os exercícios e selecione sua resposta. Verifique para ter certeza de que selecionou a correta.

Escreva o logaritmo $latex \log_{5}(10)$ como um quociente de logaritmos naturais.

Escolha uma resposta






Escreva o logaritmo $latex \log_{6}(25)$ como um quociente de logaritmos comuns.

Escolha uma resposta






Estime o logaritmo com quatro casas decimais: $latex \log_{5}(4)$.

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Veja também

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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