Progressão Geométrica – Exercícios Resolvidos

Primeiro, temos de encontrar a razão comum da progressão geométrica. Para isso, dividimos um termo pelo termo anterior:

• $latex \frac{32}{16}=2$
• $latex \frac{16}{8}=2$
• $latex \frac{8}{4}=2$

Então, a razão comum é 2. Para encontrar o próximo termo, multiplicamos o último termo pela razão comum: $latex 32 \times 2=64$.

Começamos encontrando a razão comum para a progressão geométrica. Então, dividimos cada termo por seu termo anterior:

• $latex \frac{375}{75}=5$
• $latex \frac{75}{15}=5$
• $latex \frac{15}{3}=5$

Vemos que a razão comum é 5. Encontramos o próximo termo multiplicando o último termo pela razão comum : $latex 375 \times 5=1875$.

Novamente, começamos encontrando a razão comum na progressão:

• $latex \frac{6}{12}=0.5$
• $latex \frac{12}{24}=0.5$
• $latex \frac{24}{48}=0.5$

Neste caso, vemos que a razão comum está entre 0 e 1, então a progressão está diminuindo. O próximo termo na progressão geométrica é $latex 6 \times 0.5=3$.

Temos os seguintes valores:

• Primeiro termo: $latex a_{1}=3$
• Razão comum: $latex r=2$
• Posição do termo: $latex n=6$

Depois, podemos usar a fórmula para progressões geométricas com os valores dados:

$latex a_{n}=a_{1}(r^{n-1})$

$latex a_{6}=3(2^{6-1})$

$latex a_{6}=3(2^{5})$

$latex a_{6}=5(32)$

$latex a_{6}=160$

Neste caso, temos que usar a fórmula das progressões geométricas $latex a_{n}=a_{1}({{r}^{n-1}})$. Portanto, temos que identificar o primeiro termo, o motivo comum e a posição do termo:

• Primeiro termo: $latex a_{1}=5$
• Razão comum: $latex r=3$
• Posição do termo: $latex n=12$

Agora, substituímos esses dados na fórmula:

$latex a_{n}=a_{1}({{r}^{n-1}})$

$latex a_{12}=5({{3}^{12-1}})$

$latex a_{12}=5({{3}^{11}})$

$latex a_{12}=5(177147)$

$latex a_{12}=885 735$

Vemos que temos um número muito grande. As progressões geométricas tendem a crescer rapidamente dependendo da proporção comum.

Novamente, começamos identificando o primeiro termo, a razão comum e a posição do termo a ser usado com a fórmula:

• Primeiro termo em: $latex a_{1}=8$
• Razão comum: $latex r=4$
• Posição do termo: $latex n=8$

Agora, usamos a fórmula com esses valores:

$latex a_{n}=a_{1}({{r}^{n-1}})$

$latex a_{8}=8({{4}^{8-1}})$

$latex a_{8}=8({{4}^{7}})$

$latex a_{8}=8(16384)$

$latex a_{8}=131072$

Neste caso, temos uma progressão geométrica decrescente, então esperamos que a razão comum esteja entre 0 e 1:

• Primeiro termo: $latex a_{1}=168$
• Razão comum: $latex r=0.5$
• Posição do termo: $latex n=10$

Usamos a fórmula para encontrar o termo 10:

$latex a_{n}=a_{1}({{r}^{n-1}})$

$latex a_{10}=168({{0.5}^{10-1}})$

$latex a_{10}=168({{0.5}^{9}})$

$latex a_{10}=168(0.001953)$

$latex a_{10}=0.328$

Semelhante ao exercício anterior, aqui temos uma progressão geométrica decrescente, então a razão comum deve estar entre 0 e 1:

• Primeiro termo: $latex a_{1}=540$
• Razão comum: $latex r=\frac{1}{3}$
• Posição do termo: $latex n=7$

Usamos esses valores para substituir na fórmula:

$latex a_{n}=a_{1}({{r}^{n-1}})$

$latex a_{7}=540({{\left( \frac{1}{3}\right)}^{7-1}})$

$latex a_{7}=540({{\left( \frac{1}{3}\right)}^{6}})$

$latex a_{7}=540(0.0013717)$

$latex a_{7}=0.7407$

Neste caso, não conhecemos nem o valor do primeiro termo, nem a razão comum. No entanto, podemos começar por formar as seguintes equações:

$latex a_{4}=a_{1}(r^{4-1})$

$latex 16=a_{1}(r^{3})~~~[1]$

$latex a_{7}=a_{1}(r^{7-1})$

$latex 128=a_{1}(r^{6})~~~[2]$

Se dividirmos a equação 2 pela equação 1, temos:

$$\frac{128}{16}=\frac{a_{1}(r^{6})}{a_{1}(r^{3})$$

$latex 8=r^{3}$

$latex r=2$

Se considerarmos o termo 7 como termo 1, o termo 11 é agora o termo 5:

• Primeiro termo: $latex a_{1}=128$
• Razão comum: $latex r=2$
• Posição do termo: $latex n=5$

Utilizando estes valores na fórmula, temos:

$latex a_{n}=a_{1}(r^{n-1})$

$latex a_{5}=128(2^{5-1})$

$latex a_{5}=128(2^4)$

$latex a_{5}=128(16)$

$latex a_{5}=2048$

Então, o 11º termo da progressão dada é 2048.

À semelhança do exercício anterior, podemos encontrar a razão comum, formando as seguintes equações:

$latex a_{3}=a_{1}(r^{3-1})$

$latex 256=a_{1}(r^{2})~~~[1]$

$latex a_{8}=a_{1}(r^{8-1})$

$latex -8=a_{1}(r^{7})~~~[2]$

Agora dividimo-las para as obter:

$$\frac{-8}{256}=\frac{a_{1}(r^{7})}{a_{1}(r^{2})$$

$$-\frac{1}{32}=r^{5}$$

$$r=-\frac{1}{2}$$

Considerando o termo 8 como o primeiro termo, o termo 14 corresponde ao termo 7. Então:

• Primeiro termo: $latex a_{1}=-8$
• Razão comum: $latex r=-\frac{1}{2}$
• Posição do termo: $latex n=7$

Usando a fórmula, temos:

$latex a_{n}=a_{1}(r^{n-1})$

$$a_{7}=-8(-\frac{1}{2}^{7-1})$$

$$a_{7}=-8(-\frac{1}{2}^6)$$

$$a_{7}=-8(\frac{1}{64})$$

$$a_{7}=-\frac{1}{8}$$

Assim, o 14º termo da progressão dada é $latex -\frac{1}{8}$.